فرمول مساحتبرای تعیین مساحت یک شکل، که یک تابع با ارزش واقعی است که بر روی کلاس خاصی از شکل های صفحه اقلیدسی تعریف شده و 4 شرط را برآورده می کند، ضروری است:
شکل هندسی | فرمول | طراحی |
---|---|---|
حاصل جمع کردن فواصل بین نقاط میانی اضلاع مقابل یک چهارضلعی محدب برابر با نیم محیط آن خواهد بود. |
||
بخش دایره مساحت یک بخش از یک دایره برابر است با حاصل ضرب قوس آن و نصف شعاع آن. |
||
بخش دایره. برای بدست آوردن مساحت قطعه ASB کافی است مساحت مثلث AOB را از مساحت بخش AOB کم کنید. |
S = 1/2 R(s - AC) |
|
مساحت بیضی برابر است با حاصل ضرب طول نیم محورهای اصلی و فرعی بیضی و عدد پی. |
||
بیضی. گزینه دیگر برای محاسبه مساحت یک بیضی از طریق دو شعاع آن است. |
||
مثلث. از طریق پایه و ارتفاع. فرمول مساحت دایره با استفاده از شعاع و قطر آن. |
||
مربع . از طریق او. مساحت مربع برابر است با مربع طول ضلع آن. |
||
مربع. از طریق مورب های آن. مساحت مربع برابر با نصف مربع طول قطر آن است. |
||
چند ضلعی منتظم. برای تعیین مساحت یک چند ضلعی منتظم، لازم است آن را به مثلث های مساوی تقسیم کنیم که یک راس مشترک در مرکز دایره محاطی داشته باشند. |
S= r p = 1/2 r n a |
مساحت یک شکل هندسی- یک مشخصه عددی یک شکل هندسی که اندازه این شکل را نشان می دهد (بخشی از سطح محدود شده توسط کانتور بسته این شکل). اندازه مساحت با تعداد واحدهای مربع موجود در آن بیان می شود.
S= | 1 | 2 |
2 |
a b sin α
جایی که S مساحت ذوزنقه است،
- طول پایه های ذوزنقه،
- طول اضلاع ذوزنقه،
دانش اندازه گیری زمین در دوران باستان پدیدار شد و به تدریج در علم هندسه شکل گرفت. این کلمه از یونانی به عنوان "بررسی زمین" ترجمه شده است.
اندازه گیری وسعت یک بخش مسطح از زمین در طول و عرض مساحت است. در ریاضیات، معمولاً با حرف لاتین S (از انگلیسی "مربع" - "مربع") یا حرف یونانی σ (سیگما) نشان داده می شود. S منطقه یک شکل را در هواپیما یا سطح سطح بدن نشان می دهد و σ سطح مقطع یک سیم در فیزیک است. اینها نمادهای اصلی هستند، اگرچه ممکن است موارد دیگری نیز وجود داشته باشد، به عنوان مثال، در زمینه استحکام مواد، A سطح مقطع پروفیل است.
در تماس با
با دانستن مناطق شکل های ساده، می توانید پارامترهای پیچیده تر را پیدا کنید.. ریاضیدانان باستان فرمول هایی را توسعه دادند که می توان به راحتی آنها را محاسبه کرد. چنین شکل هایی مثلث، چهار گوش، چند ضلعی، دایره است.
برای یافتن مساحت یک شکل صفحه پیچیده، آن را به شکل های ساده زیادی مانند مثلث، ذوزنقه یا مستطیل تقسیم می کنیم. سپس با استفاده از روش های ریاضی فرمولی برای مساحت این شکل به دست می آید. روش مشابهی نه تنها در هندسه، بلکه در تحلیل ریاضی نیز برای محاسبه مساحت ارقام محدود شده توسط منحنی ها استفاده می شود.
بیایید با ساده ترین شکل - یک مثلث شروع کنیم. آنها مستطیل، متساوی الساقین و متساوی الاضلاع هستند. هر مثلث ABC را با اضلاع AB=a، BC=b و AC=c (∆ ABC) در نظر بگیرید. برای یافتن مساحت آن، قضایای سینوس و کسینوس شناخته شده از درس ریاضیات مدرسه را به یاد بیاوریم. با رها کردن تمام محاسبات، به فرمول های زیر می رسیم:
بگذارید یک ABCD چهار ضلعی با AB=a، BC=b، CD=c، AD=d وجود داشته باشد. برای پیدا کردن مساحت S یک 4 ضلعی دلخواه، باید آن را بر مورب به دو مثلث تقسیم کنید که در حالت کلی مناطق S1 و S2 برابر نیستند.
سپس از فرمول ها برای محاسبه و اضافه کردن آنها استفاده کنید، یعنی S=S1+S2. با این حال، اگر یک 4-gon متعلق به یک کلاس خاص باشد، می توان مساحت آن را با استفاده از فرمول های قبلاً شناخته شده پیدا کرد:
برای یافتن مساحت یک n-gon، ریاضیدانان آن را به ساده ترین شکل های مساوی - مثلث ها تقسیم می کنند، مساحت هر یک از آنها را پیدا کرده و سپس آنها را اضافه می کنند. اما اگر چند ضلعی متعلق به کلاس منظم است، از فرمول استفاده کنید:
S=a n h/2=a² n/=P²/، که n تعداد رئوس (یا اضلاع) چند ضلعی است، a ضلع n-ضلعی، P محیط آن، h آپوتم است، یعنی a. قطعه ای که از مرکز چند ضلعی به یکی از اضلاع آن با زاویه 90 درجه کشیده شده است.
دایره یک چند ضلعی کامل با تعداد اضلاع نامتناهی است. ما باید حد عبارت سمت راست را در فرمول مساحت یک چندضلعی با تعداد ضلع n که به بی نهایت تمایل دارند محاسبه کنیم. در این صورت محیط چند ضلعی به طول دایره ای به شعاع R که مرز دایره ما خواهد بود تبدیل می شود و برابر P=2 π R می شود. این عبارت را جایگزین فرمول بالا کنید. به دست خواهیم آورد:
S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
حد این عبارت را به صورت n→∞ پیدا می کنیم. برای انجام این کار، در نظر می گیریم که lim (cos (180°/n)) برای n→∞ برابر است با cos 0°=1 (lim علامت حد است) و lim = lim برای n→∞ برابر است. برابر با 1/π (ما با استفاده از رابطه π rad=180 درجه را به رادیان تبدیل کردیم و اولین حد قابل توجه (sin x)/x=1 را در x→∞ اعمال کردیم. با جایگزینی مقادیر به دست آمده در آخرین عبارت برای S، به فرمول معروف می رسیم:
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
از واحدهای اندازه گیری سیستمیک و غیر سیستمی استفاده می شود. واحدهای سیستم متعلق به SI (System International) هستند. این یک متر مربع (متر مربع، متر مربع) است و واحدهای حاصل از آن: mm²، cm²، km².
به عنوان مثال، در میلی متر مربع (mm²)، سطح مقطع سیم ها را در مهندسی برق اندازه گیری می کنند، در سانتی متر مربع (cm²) - سطح مقطع تیر در مکانیک سازه، در متر مربع (m²) - در یک آپارتمان یا خانه، در کیلومتر مربع (کیلومتر مربع) - در جغرافیا.
اما گاهی اوقات از واحدهای اندازه گیری غیر سیستمی مانند: بافت، ار (الف)، هکتار (هکتار) و جریب (ع) استفاده می شود. اجازه دهید روابط زیر را ارائه کنیم:
برای حل مشکلات هندسه ، باید فرمول ها را مانند مساحت یک مثلث یا مساحت یک موازی - و همچنین تکنیک های ساده ای که ما پوشش خواهیم داد ، بدانید.
ابتدا بیایید فرمول های مساحت شکل ها را یاد بگیریم. ما آنها را به طور ویژه در یک جدول مناسب جمع آوری کرده ایم. چاپ کنید، یاد بگیرید و اعمال کنید!
البته همه فرمول های هندسی در جدول ما نیستند. به عنوان مثال، برای حل مسائل هندسه و استریومتری در بخش دوم پروفایل یکپارچه آزمون ریاضیات، از فرمول های دیگری برای مساحت یک مثلث استفاده می شود. ما حتما در مورد آنها به شما خواهیم گفت.
اما اگر لازم باشد نه مساحت ذوزنقه یا مثلث، بلکه مساحت یک شکل پیچیده را پیدا کنید، چه؟ راه های جهانی وجود دارد! ما با استفاده از نمونه هایی از بانک وظیفه FIPI به آنها نشان خواهیم داد.
1. چگونه می توان مساحت یک شکل غیر استاندارد را پیدا کرد؟ مثلا یک چهارضلعی دلخواه؟ یک تکنیک ساده - بیایید این شکل را به آنهایی که همه چیز درباره آنها می دانیم تقسیم کنیم و مساحت آن را پیدا کنیم - به عنوان مجموع مساحت های این شکل ها.
این چهار ضلعی را با خط افقی به دو مثلث با قاعده مشترک برابر تقسیم کنید. ارتفاع این مثلث ها برابر است و . سپس مساحت چهارضلعی برابر است با مجموع مساحت های دو مثلث: .
پاسخ: .
2. در برخی موارد، مساحت یک شکل را می توان به عنوان تفاوت برخی از مناطق نشان داد.
محاسبه این که قاعده و ارتفاع این مثلث با چه چیزی برابری می کند چندان آسان نیست! اما می توان گفت مساحت آن برابر است با اختلاف مساحت مربع با ضلع و سه مثلث قائم الزاویه. آیا آنها را در تصویر می بینید؟ ما گرفتیم: .
پاسخ: .
3. گاهی اوقات در یک کار باید مساحت کل شکل، بلکه بخشی از آن را پیدا کنید. معمولاً در مورد مساحت یک بخش - بخشی از یک دایره صحبت می کنیم. مساحت یک بخش از یک دایره با شعاع را پیدا کنید که طول قوس آن برابر است با .
در این تصویر بخشی از یک دایره را می بینیم. مساحت کل دایره برابر است با . باقی مانده است که بفهمیم کدام قسمت از دایره به تصویر کشیده شده است. از آنجایی که طول کل دایره برابر است (از ) و طول قوس یک بخش معین برابر است بنابراین، طول کمان چندین برابر طول کل دایره است. زاویه ای که این قوس در آن قرار می گیرد نیز ضریب کمتر از یک دایره کامل (یعنی درجه) است. این بدان معنی است که مساحت بخش چندین برابر کوچکتر از مساحت کل دایره خواهد بود.