محاسبه تنش های اصلی برای خمش عرضی مستقیم. محاسبه تنش خمشی و مقاومت تیرها

مبانی تئوری سازه های تیر خمشی

مفهوم خم شدن. خط خنثی

خم شدن نوع تغییر شکلی که در آن محور تیر خم می شود نامیده می شود. در ادامه به تغییر شکل یک تخت خواهیم پرداخت خم مستقیم، که در آن صفحه نیرو از یکی از محورهای مرکزی اصلی مقطع عبور می کند (شکل 1.1).

علاوه بر خم شدن مستقیم، ممکن است وجود داشته باشد خم شدن مورب، که در آن صفحه نیرو تنها با یک محور مرکزی منطبق است، یعنی. با زاویه معینی از محورهای مرکزی اصلی عبور می کند (شکل 1.2).

بسته به عوامل نیروی داخلی (IFF) که در تیر اتفاق می افتد، خمش خالص و عرضی متمایز می شوند (شکل 1.3).

خم تمیزخمش نامیده می شود که در آن فقط یک لنگر خمشی در مقطع تیر عمل می کند و عرضیتماس -

این خمشی است که در آن هم لنگر خمشی و هم نیروی برشی عمل می کنند.

به طور کلی، هنگام خم شدن، بخشی از لایه ها (الیاف) تیر بلند می شود و قسمت دیگر کوتاه می شود، یعنی. در این الیاف تغییر شکل کششی یا فشاری به ترتیب رخ می دهد. در این حالت، چنین لایه ای وجود دارد که به آن می گویند خنثی، که طول آن تغییر نمی کند، اگرچه لایه منحنی است. در مقطع تیر، این لایه مشخص می شود خط خنثی(شکل 1.4).

همانطور که محاسبات نشان می دهد، خط خنثی از محور مرکزی اصلی بخش که عمود بر خط نیرو قرار دارد می گذرد.

خط خنثی گاهی اوقات خط صفر نامیده می شود زیرا در نقاط آن هیچ تنش معمولی و تغییر شکل طولی وجود ندارد، یعنی. σ = 0 و ε = 0.

نظریه خمش مفروضات زیر را بیان می کند:

1 فرضیه مقاطع صفحه درست است.

2 در امتداد ارتفاع مقطع تیر، الیاف وزن ندارند، یعنی. به هم فشار نیاورید یک نمودار حالت تنش ساده اتخاذ شده است (شکل 1.5).

3 در امتداد عرض مقطع تیر، تنش ها ثابت هستند (شکل 1.6).

با خمش خالص، تنها تنش های معمولی ایجاد می شود که برای محاسبه آن از رابطه زیر استفاده می شود:

که σ y - تنش های نرمال در نقطه مقطع تیر که در فاصله y از خط خنثی قرار دارد، mPa.

مخمش - گشتاور خمشی در یک بخش معین، Nm.

من x - گشتاور محوری اینرسی مقطع نسبت به محور x، m 4.

y – ترتیب نقطه مورد مطالعه، m (شکل 1.7).

با تجزیه و تحلیل وابستگی (1.1)، می‌توان نتیجه گرفت که تنش نرمال طبق یک قانون خطی تغییر می‌کند و از مرکز مقطع به لبه‌های آن افزایش می‌یابد. علاوه بر این، حداکثر تنش های ایجاد شده در بیرونی ترین الیاف می تواند باشد

با فرمول تعیین کنید

ممان محوری مقاومت مقطع، m3 کجاست.

وابستگی های (1.1) و (1.2) را می توان به صورت گرافیکی در قالب نمودار تنش زیر نشان داد (شکل 1.8).

هنگام طراحی سازه های تیر، توصیه می شود از پروفیل هایی استفاده کنید که از نظر نمودار تنش حاصل، شکل منطقی دارند. اعتقاد بر این است که پروفیل (یا بخش) که در آن بیشتر مواد در بیرونی ترین الیاف قرار دارد، منطقی است. (به عنوان مثال، I-beam، کانال، مستطیل توخالی، دو گوشه).

در صورت خمش خالص، محاسبه مقاومت بر اساس تنش های نرمال s طبق شرایط زیر انجام می شود:

شرایط (1.3) شرط اصلی برای مقاومت خمشی است. با استفاده از این شرط، می توانید انواع محاسبات زیر را انجام دهید:

- آزمایش طبق شرط (1.3) انجام می شود.

- طراحی با توجه به شرایط انجام می شود

- محاسبه حداکثر ظرفیت بار

هنگام محاسبه مقاومت تیرهای ساخته شده از مواد مختلف، لازم است توانایی های متفاوت آنها برای مقاومت در برابر تنش های کششی و فشاری در نظر گرفته شود. در این مورد، شما باید به توصیه های زیر پایبند باشید:

1 اگر تیر از مواد پلاستیکی، به همان اندازه در برابر کشش و فشار مقاوم است، یعنی. [σ р ] = [σ c ]، پس توصیه می شود از بخش هایی استفاده کنید که با توجه به خط خنثی متقارن هستند. در این مورد، نقاط انتهایی بخش تیر از نظر استحکام بررسی می شود.

جایی که σ max = |σ min | (شکل 1.9).

2 اگر مواد تیر شکننده، نسبت به تنش های کششی بهتر می تواند تنش های فشاری را تحمل کند. [σ r]< [σ c ], то целесообразно выбирать сечения несимметричные относительно нейтральной линии. Их необходимо располагать так, чтобы в растянутых волокнах напряжения были меньше по абсолютному значению, чем в сжатых волокнах, т.е. σ max < |σ min | (рисунок 1.10).

اجازه دهید تنش های ایجاد شده در طول خمش عرضی را در نظر بگیریم. در این مورد، فرضیه قبلاً پذیرفته شده در مورد مقاطع صفحه نقض می شود، یعنی. در طول خمش عرضی، مقاطع تیر هنگام خم شدن صاف نیستند، که باعث جابجایی طولی الیاف تیر می شود (شکل 1.11).

تغییر مکان مشخص شده الیاف طولی تیر ناشی از تنش های مماسی است که در هر دو مقطع عرضی و طولی تیر ایجاد می شود (بر اساس قانون جفت شدن تنش های مماسی).

در طول خمش عرضی، تنش های نرمال در نقاط تیر را می توان با استفاده از فرمول شناخته شده خمش خالص تعیین کرد.

تنش های مماسی در یک نقطه دلخواه در مقطع تیر (شکل 1.12) با استفاده از فرمول D.I. Zhuravsky یافت می شود. (1855)

که در آن τ y – تنش های مماسی در نقطه ای که در فاصله y از محور قرار دارد ایکسبخش ها (از خط خنثی)، mPa.

س y – نیروی عرضی وارد بر یک بخش معین (با توجه به علامت سعلامت تنش های مماسی τ)، N تعیین می شود.

- لحظه ایستا حول محور ایکسآن قسمت از بخش که توسط یک سطح معین قطع شده است و نزدیکترین بیرونی ترین فیبر مقطع، m 3، بر اساس رابطه شناخته شده یافت می شود.

;

من x – گشتاور محوری اینرسی کل مقطع نسبت به محور ایکس(لایه خنثی)، m 4;

ب(y) - عرض مقطع در سطح نقطه مورد نظر (با در نظر گرفتن فضاهای خالی موجود)، m.

تنش های مماسی که با فرمول (7/1) تعیین می شود، فقط برای تیرهای کوتاه با ارتفاع مقطع زیاد قابل توجه است. ساعت>>ل، در غیر این صورت می توان این تنش ها را در محاسبات عملی نادیده گرفت. تجزیه و تحلیل وابستگی (1.7) نشان می دهد که در طول خمش عرضی، حداکثر تنش های برشی در نقاط واقع در سطح لایه خنثی مقطع تیر رخ می دهد (شکل 1.13).

تنش های اصلی در طول خمش آزمایش کامل مقاومت خمشی تیرها

در حالت کلی، در طول خمش، هر نقطه از تیر در حالت تنش صفحه ساده شده قرار دارد (شکل 1.14)، که در امتداد لبه های آن هر دو تنش معمولی و مماسی اعمال می شود.

با حل مسئله معکوس برای چنین حالت تنشی، می توانید موقعیت ناحیه اصلی a o و بزرگی تنش های اصلی σ 1، σ 3 را با توجه به وابستگی های زیر پیدا کنید.

اجازه دهید وضعیت تنش نقاط خطرناک تیر را تجزیه و تحلیل کنیم. برای انجام این کار، نمودار طراحی یک تیر ساده با نمودارهای نیروی عرضی Q و لنگر خمشی M را در نظر بگیرید (شکل 1.15). بر اساس ارتفاع مقطع این تیر، نمودار تنش های معمولی، مماسی و اصلی را با در نظر گرفتن وابستگی های (1.8)-(1.10) می سازیم.

به طور کلی بررسی کامل مقاومت خمشی تیر طبق موارد زیر انجام می شود سه نوع نقطه خطر .

نقاط خطر نوع I: در طول تیر در مقاطعی قرار دارند که حداکثر مقدار مطلق لنگر خمشی عمل می کند (بخش I-I) و در امتداد ارتفاع تیر - در بیرونی ترین الیاف مقطع ، جایی که حداکثر تنش های نرمال رخ می دهد (نقاط). 1 و 5). در این نقاط حالت تنش خطی وجود دارد. شرط استحکام برای نقاط نوع I به شکل زیر است ( شرط اساسی قدرت)

نقاط خطر نوع دومدر امتداد طول تیر در بخش هایی با حداکثر نیروی عرضی (بخش II-II چپ و راست) و در امتداد ارتفاع تیر - در سطح خط خنثی (نقطه 3 چپ و راست) قرار دارند، جایی که حداکثر تنش برشی عمل می کند. در این نقاط، حالت خاصی از یک حالت تنش سطحی به وجود می آید - برش خالص. شرایط استحکام به شکل زیر است:

نقاط خطر نوع IIIدر بخش‌هایی از تیر قرار دارند، جایی که ترکیب نامطلوب لنگر خمشی و نیروی برشی (بخش III-III چپ و راست) و در امتداد ارتفاع تیر - بین الیاف خارجی و خط خنثی، جایی که هر دو تنش های نرمال و برشی زیاد هستند (نقاط 2 و 4 سمت چپ، راست). در این نقاط، یک حالت تنش سطحی ساده ایجاد می شود. شرط استحکام برای نقاط نوع III بر اساس تئوری استحکام نوشته شده است (مثلاً برای یک ماده پلاستیکی: طبق نظریه III یا IV).

اگر همانطور که محاسبات انجام می شود، استحکام طبق یکی از شرایط برآورده نمی شود، باید ابعاد قسمت تیر را افزایش داد یا تعداد پروفیل را مطابق جداول مجموعه افزایش داد.

تجزیه و تحلیل فوق از وضعیت تنش تیرها در طول خمش به ما امکان می دهد تا عناصر سازه های تیر را با در نظر گرفتن ویژگی های بارگذاری آنها به طور منطقی طراحی کنیم. بنابراین، به عنوان مثال، برای سازه های بتن آرمه توصیه می شود از آرماتور فولادی استفاده شود و آن را در امتداد خطوط منطبق با مسیر تنش های کششی اصلی قرار دهید.

تغییر شکل خمشی

مفاهیم کلی

در تئوری خمش، محاسبه مقاومت تیرها با محاسبه صلبیت تکمیل می شود. در این حالت، انطباق الاستیک تیر مورد ارزیابی قرار می گیرد و ابعاد آن تعیین می شود که در آن تغییر شکل های حاصل از حد مجاز فراتر نرود. سپس شرایط سختی را می توان به صورت زیر نشان داد:

جایی که fحداکثر - حداکثر تغییر شکل محاسبه شده (خطی یا زاویه ای)؛

[f] – تغییر شکل مجاز.

بیایید پارامترهای اصلی حالت تغییر شکل یک تیر بارگذاری شده را در نظر بگیریم (شکل 2.1).

خط الاستیک(u.l.) - محور منحنی تیر تحت تأثیر بار.

انحراف (y)- جابجایی خطی مرکز ثقل مقطع، عمود بر محور اصلی تیر اندازه گیری شده، m.

جابجایی افقی (u) تیرها، معمولاً یک مقدار بی نهایت کوچک برابر با 0 است.

زاویه چرخش (θ)- جابجایی زاویه ای مقطع نسبت به موقعیت اولیه (گاهی اوقات می توان به عنوان زاویه بین مماس به خط کشسان و محور اولیه تعریف کرد)، درجه، راد.

هنگام خم کردن یک تیر، قوانین علامت زیر برای جابجایی های خطی و زاویه ای (y و θ) اتخاذ می شود (شکل 2.2):

اگر نقطه به سمت بالا حرکت کند، انحراف مثبت در نظر گرفته می شود، یعنی. در جهت محور y؛

زاویه چرخش θ مثبت در نظر گرفته می‌شود که بخش در خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخد (این برای سیستم مختصات سمت راست و برعکس برای سیستم راست‌گرد صادق است).

یک رابطه دیفرانسیل بین انحراف و زاویه چرخش وجود دارد که می توان با در نظر گرفتن مختصات بینهایت کوچک یک منحنی صفحه مشخص به دست آورد (شکل 2.3).

(2.2)

بر اساس (2.3) زاویه چرخش در این مقطع برابر با مشتق انحراف در امتداد آبسیسا مقطع است.

بنابراین، برای یافتن تغییر شکل‌های خطی یا زاویه‌ای در تیرهای واقعی، باید معادله خط کشسان آن (ELE) را دانست که به طور کلی می‌توان آن را تابعی از آبسیس مقطع نشان داد.

بیایید روش هایی را برای یافتن تغییر شکل های خمشی بر اساس ترسیم و حل معادله خط کشسان یک تیر در نظر بگیریم.

در صورت خمش عرضی صاف، زمانی که یک لنگر خمشی نیز در مقاطع تیر عمل می کند مو نیروی برشی س، نه تنها عادی است
و همچنین تنش های برشی .

تنش های نرمال در طول خمش عرضی با استفاده از فرمول های مشابه برای خمش خالص محاسبه می شود:

;
.(6.24)

شکل 6.11. خم صاف

هنگام استخراج فرمول، چند فرض را خواهیم داشت:

تنش های برشی که در همان فاصله عمل می کنند دراز محور خنثی، در عرض تیر ثابت است.

تنش های مماسی در همه جا موازی با نیرو هستند س.

اجازه دهید یک تیر کنسول را در نظر بگیریم که تحت تأثیر یک نیرو در معرض خمش عرضی است آر. بیایید نمودارهایی از نیروهای داخلی بسازیم در باره y، و م z .

در فاصله ایکساز انتهای آزاد تیر یک بخش ابتدایی تیر را با طول انتخاب می کنیم دایکسو عرضی برابر با عرض تیر ب. اجازه دهید نیروهای داخلی را که در امتداد لبه های عنصر عمل می کنند نشان دهیم: روی لبه سی دینیروی برشی رخ می دهد س yو لحظه خم شدن م z، و در آستانه است ab- همچنین نیروی برشی س yو لحظه خم شدن م z +dM z(زیرا س yدر طول پرتو و لحظه ثابت می ماند م zتغییرات، شکل. 6.12). در فاصله دربخشی از عنصر را از محور خنثی جدا کنید abجد، تنش های اعمال شده در امتداد لبه های عنصر حاصل را نشان می دهیم mbcn، و تعادل آن را در نظر بگیرید. هیچ تنشی بر روی وجوهی که بخشی از سطح بیرونی تیر هستند وجود ندارد. در وجوه جانبی عنصر از عمل لحظه خمشی م z، استرس های عادی ایجاد می شوند:

; (6.25)

. (6.26)

علاوه بر این در این وجوه از عمل نیروی برشی س yتنش های برشی بوجود می آیند تنش های مشابه بر اساس قانون جفت شدن تنش های مماسی در وجه بالایی عنصر بوجود می آیند.

بیایید یک معادله تعادل برای عنصر ایجاد کنیم mbcn، تنش های حاصل را بر روی محور در نظر می گیرند ایکس:

. (6.29)

عبارت زیر علامت انتگرال نشان دهنده لحظه ایستا وجه جانبی عنصر است mbcnنسبت به محور ایکس، تا بتوانیم بنویسیم

. (6.30)

با توجه به اینکه، با توجه به وابستگی های دیفرانسیل ژوراوسکی D.I در حین خمش،

, (6.31)

بیان برای مماس هاتنش ها در طول خمش عرضی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد ( فرمول ژوراوسکی)

. (6.32)

بیایید فرمول ژوراوسکی را تحلیل کنیم.

س y– نیروی برشی در مقطع مورد نظر؛

جی z - گشتاور محوری اینرسی مقطع نسبت به محور z;

ب- عرض مقطع در محلی که تنش های برشی تعیین می شود.

- گشتاور استاتیک نسبت به محور z مقطعی که در بالای (یا زیر) فیبر قرار دارد و در آن تنش برشی تعیین می‌شود:

, (6.33)

جایی که و اف"به ترتیب مختصات مرکز ثقل و مساحت قسمت در نظر گرفته شده از بخش است.

6.6 بررسی قدرت کامل. بخش های خطرناک و نقاط خطرناک

برای بررسی مقاومت خمشی بارهای خارجی وارد بر تیر، نمودارهایی از تغییرات نیروهای داخلی در طول آن ساخته شده و مقاطع خطرناک تیر تعیین می شود که برای هر یک از آنها آزمایش مقاومت لازم است.

هنگام بررسی کامل استحکام چنین بخشهایی، حداقل سه مورد وجود دارد (گاهی اوقات آنها با هم مطابقت دارند):

بخشی که در آن لحظه خمشی م zبه حداکثر مقدار مطلق خود می رسد.

مقطعی که در آن نیروی برشی س y، به حداکثر مقدار مطلق خود می رسد.

بخشی که در آن لحظه خمشی م z و نیروی برشی س yبه مقادیر بسیار بزرگ در قدر مطلق می رسد.

در هر یک از مقاطع خطرناک، لازم است با ساخت نمودار تنش های نرمال و برشی، نقاط خطرناک مقطع (برای هر یک از آنها آزمایش مقاومت انجام می شود) که حداقل سه مورد از آنها نیز وجود خواهد داشت. :

نقطه ای که در آن تنش های معمولی وجود دارد ، به حداکثر مقدار خود می رسند، یعنی نقطه ای از سطح بیرونی تیر که از محور خنثی مقطع دورتر است.

نقطه ای که در آن تنش برشی رسیدن به حداکثر مقدار خود - نقطه ای که روی محور خنثی بخش قرار دارد.

نقطه‌ای که در آن تنش‌های معمولی و تنش‌های برشی به مقادیر کافی بزرگ می‌رسند (این آزمایش برای مقاطعی مانند تیرهای T یا تیرهای I که عرض مقطع در امتداد ارتفاع ثابت نیست منطقی است).

توان اکتیو، راکتیو و ظاهری در مدارهایی با ولتاژ و جریان متناوب غیر سینوسی.

آنتی بادی ها به عنوان مولکول های مؤثر اصلی بخش هومورال ایمنی تطبیقی

آپولونیوس رودس و احیای حماسه هومری. "Argonautica" - طرح، ترکیب، تصاویر اصلی. ویژگی های سبک.

Ardha-matsyendrasana - ژست جزئی شاه ماهی، یا پیچش ستون فقرات

در چه مواردی آزمون فوق العاده دانش کارکنان انجام می شود؟

مقدار ولتاژ آستانه و راه های تنظیم آن

به طور کلی بررسی کامل مقاومت خمشی تیر طبق موارد زیر انجام می شود سه نوع نقطه خطر .

در عمل ساخت و ساز، خمش شاید رایج ترین نوع تغییر شکل است که بیشتر برای سازه های تیر معمولی است. اگر فقط یک لنگر خمشی در مقاطع یک تیر اتفاق بیفتد، در حال تجربه در نظر گرفته می شود خم خالص. اما در بیشتر موارد همراه با ممان خمشی، نیروی عرضی نیز در تیرها ایجاد می شود (س)، و بر این اساس، چنین خمشی نامیده می شود عرضی.

تغییر شکل خمشی ناشی از نیروهایی است که عمود بر محور طولی تیر قرار می گیرند یا در صفحاتی که از این محور عبور می کنند، قرار می گیرند. تحت تأثیر این نیروها، خود محور از حالت مستقیم به منحنی تبدیل می شود (شکل 1 را ببینید).

برنج. 1.

اگر تمام بارهای وارد بر تیر در یک صفحه اعمال شود، نامیده می شود قدرت، سپس خم است تختو اگر خط تقاطع این صفحه با سطح مقطع (خط نیرو) با یکی از محورهای اصلی مرکزی منطبق باشد، معمولاً خم نامیده می شود. مستقیم(شکل 2 را ببینید).

برنج. 2.

تنش های خمشی معمولی

بنابراین، در هنگام خمش مستقیم و عرضی، دو عامل نیرو (نیروهای داخلی) در مقاطع تیر ایجاد می شود: لنگر خمشی. مو نیروی برشی س. عمل محاسبات نشان می دهد که لنگر خمشی در اغلب موارد هنگام انتخاب یک مقطع و بررسی مقاومت سازه های تیر از اهمیت تعیین کننده ای برخوردار است.

تحت تأثیر بار، تیر خم می شود به طوری که الیاف پایینی آن طولانی و الیاف بالایی آن کوتاه می شود، یعنی. خم شدن با ظهور تنش های معمولی همراه است. با انتقال تدریجی از الیاف افزایش دهنده به الیاف کوتاه کننده (یا برعکس)، با لایه میانی الیاف مواجه می شویم که طول آن را تغییر نمی دهد. این لایه نامیده می شود خنثی، و خط تقاطع آن با سطح مقطع تیر می باشد خط خنثییا محور. بنابراین، خط خنثی محل هندسی غلظت نقاطی است که در آن تنش های نرمال صفر است.

برای روشن شدن ماهیت توزیع و مقدار تنش های ناشی از لنگر خمشی، اجازه دهید به حالت خمش خالص بپردازیم، که یک مثال معمولی آن در شکل 3(a) در زیر نشان داده شده است.

برنج. 3.

در نمودار فوق (شکل 3، الف)، دو بخش بی نهایت نزدیک، بخشی از تیر را با طول برجسته می کند. dzو در یک مقیاس بزرگ نشان داده شده است (شکل 3، ب). موازی بودن با یکدیگر قبل از تغییر شکل، هر دو بخش متقابلاً در اطراف خطوط خنثی خود در یک زاویه می چرخند. dθپس از اعمال بار طول بخش لایه خنثی تغییر نخواهد کرد.

هر فیبری که در بالا یا زیر لایه خنثی قرار گیرد طول آن را تغییر می دهد. بنابراین، ازدیاد طول نسبی الیاف واقع در فاصله "y" از لایه خنثی است:
که ρ شعاع انحنای محور منحنی تیر است.

این وابستگی جنبه هندسی مسئله خمش خالص را بیان می کند: تغییر شکل الیاف متناسب با فاصله آنها از لایه خنثی است . باقی مانده است که از تغییر شکل ها به تنش ها حرکت کنیم، یعنی. جنبه فیزیکی مشکل را در نظر بگیرید. وابستگی (1) را در بیان قانون هوک تحت کشش محوری (فشرده سازی) جایگزین می کنیم و به دست می آوریم:
آن ها تنش های نرمال به صورت خطی در امتداد ارتفاع مقطع تغییر می کند.

پس از چند تبدیل، عبارت (2) به فرمول زیر تبدیل می شود:
که به شما امکان می دهد تنش های نرمال را در هنگام خمش خالص تیر در هر نقطه از مقطع آن محاسبه کنید. لحظه خم شدن " Mx"و هماهنگ کنید" y» راحت تر است که مقدار مطلق را بگیرید و علامت تنش را بر اساس ماهیت تغییر شکل تیر (در کشش - به علاوه، در فشرده سازی - منهای) تنظیم کنید. مطابق نمودار "M" که مختصات آن از سمت الیاف کشیده شده ترسیم شده است. حدس زدن اینکه حداکثر مقادیر ولتاژ در نقاط دورتر از خط خنثی اتفاق می افتد دشوار نیست.

در طول خمش عرضی، نه تنها تنش های معمولی بلکه مماسی نیز عمل می کنند. دومی تصویر تغییر شکل را پیچیده می کند و منجر به انحنای سطح مقطع تیر می شود که در نتیجه فرضیه مقاطع مسطح نقض می شود. با این حال، مطالعات دقیق نشان می دهد که اعوجاج های ایجاد شده توسط تنش های برشی تأثیر کمی بر تنش های معمولی دارد. بنابراین، هنگام تعیین تنش های نرمال در مورد خمش عرضی، تئوری خمش خالص کاملاً قابل اجرا است. تنش های مماسی معمولاً در محاسبات مقاومت در نظر گرفته نمی شوند.

مطالب موضوعی: