Вычисление главных напряжений при прямом поперечном изгибе. Напряжение при изгибе и расчет балок на прочность

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗГИБА БАЛОЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Понятие изгиба. Нейтральная линия

Изгибом называется вид деформации, при котором происходит искривление оси бруса. В дальнейшем будем рассматривать деформацию плоского прямого изгиба , при котором силовая плоскость проходит через одну из главных центральных осей сечения (рисунок 1.1).

Кроме прямого изгиба, может возникать косой изгиб , при котором силовая плоскость совпадает только с одной центральной осью, т.е. проходит под некоторым углом к главным центральным осям (рисунок 1.2).

В зависимости от возникающих в балке внутренних силовых факторов (ВСФ) различают чистый и поперечный изгиб (рисунок 1.3).

Чистым изгибом называется изгиб, при котором в сечении балки действует только изгибающий момент, а поперечным называет-

ся изгиб, при котором действуют как изгибающий момент, так и поперечная сила.

В общем случае при изгибе часть слоев (волокон) бруса удлиняется, а другая часть укорачивается, т.е. в этих волокнах возникает деформация растяжения или сжатия соответственно. При этом существует такой слой, называемый нейтральным , длина которого не изменяется, хотя слой искривляется. В поперечном сечении бруса этот слой характеризуется нейтральной линией (рисунок 1.4).

Как показывают расчеты нейтральная линия проходит через главную центральную ось сечения, расположенную перпендикулярно к силовой линии.

Нейтральную линию иногда называют нулевой линией, т.к. в ее точках нормальные напряжения и продольные деформации отсутствуют, т.е. σ = 0 и ε = 0.

В теории изгиба принимаются следующие допущения:

1 Справедлива гипотеза плоских сечений.

2 По высоте сечения бруса волокна не имеют веса, т.е. не давят друг на друга. Принимается упрощенная схема напряженного состояния (рисунок 1.5).

3 По ширине сечения бруса напряжения являются постоянными (рисунок 1.6).

При чистом изгибе возникают только нормальные напряжения, для расчета которых используется следующая зависимость:

где σ y – нормальные напряжения в точке сечения бруса, находящейся на расстоянии y от нейтральной линии, мПа;

M изг – изгибающий момент в данном сечении, Нм;

I x – осевой момент инерции сечения относительно оси х, м 4 ;

y – ордината исследуемой точки, м (рисунок 1.7).

Анализируя зависимость (1.1), можно заключить, что нормальное напряжение изменяется по линейному закону, увеличиваясь от центра сечения к его краям. Причем максимальные напряжения, возникающие в крайних волокнах, можно

определить по формуле

где – осевой момент сопротивления сечения, м 3 .

Зависимости (1.1) и (1.2) графически можно представить в виде следующей эпюры напряжений (рисунок 1.8).

При проектировании балочных конструкций целесообразно применять профили, имеющие рациональную форму с точки зрения полученной эпюры напряжений. Считается, что профиль (или сечение), у которого большая часть материала располагается в крайних волокнах, является рациональным. (например, двутавр, швеллер, пустотелый прямоугольник, сдвоенный уголок).

При чистом изгибе расчет на прочность по нормальным напряжениям s производится по следующему условию:

Условие (1.3) является основным условием прочности при изгибе. При помощи этого условия можно выполнить следующие виды расчетов:

– проверочный выполняется по условию (1.3);

– проектировочный выполняется по условию

– расчет максимальной грузоподъемности

При расчете на прочность балок, изготовленных из разных материалов, необходимо учитывать различную их способность сопротивляться растягивающим и сжимающим напряжениям. При этом следует придерживаться следующих рекомендаций:

1 Если балка изготовлена из пластичного материала , одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, т.е. [σ р ] = [σ c ], то целесообразно использовать сечения, симметричные относительно нейтральной линии. В этом случае на прочность проверяются крайние точки сечения балки,

где σ max = |σ min | (рисунок 1.9).

2 Если материал балки хрупкий , лучше воспринимающий сжимающие напряжения, чем растягивающие, т.е. [σ р ] < [σ c ], то целесообразно выбирать сечения несимметричные относительно нейтральной линии. Их необходимо располагать так, чтобы в растянутых волокнах напряжения были меньше по абсолютному значению, чем в сжатых волокнах, т.е. σ max < |σ min | (рисунок 1.10).

Рассмотрим напряжения, возникающие при поперечном изгибе. В этом случае нарушается ранее принятая гипотеза о плоских сечениях, т.е. при поперечном изгибе сечения балки искривляясь не являются плоскими, что обусловливает продольное смещение волокон балки (рисунок 1.11).

Указанное смещение продольных волокон балки вызывается касательными напряжениями, которые возникают как в поперечных, так и в продольных сечениях балки (на основании закона парности касательных напряжений).

При поперечном изгибе нормальные напряжения в точках балки можно определить по известной формуле чистого изгиба

Касательные напряжения в произвольной точке сечения балки (рисунок 1.12) находятся по формуле Журавского Д.И. (1855 г.)

где τ y – касательные напряжения в точке, расположенной на расстоянии y от оси x сечения (от нейтральной линии), мПа;

Q y – поперечная сила, действующая в данном сечении (по знаку Q определяется знак касательных напряжений τ), Н;

– статический момент тносительно оси x той части сечения, которая отсекается заданным уровнем и ближайшим крайним волокном сечения, м 3 , находится по известной зависимости

;

I x – осевой момент инерции всего сечения относительно оси x (нейтрального слоя), м 4 ;

b (y) – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки (с учетом имеющихся пустот), м.

Касательные напряжения, определяемые по формуле (1.7), имеют значительную величину только для коротких балок с большой высотой сечения h >>l , в противном случае этими напряжениями в практических расчетах можно пренебречь. Анализ зависимости (1.7) показывает, что при поперечном изгибе максимальные касательные напряжения будут возникать в точках, расположенных на уровне нейтрального слоя сечения балки (рисунок 1.13).

Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок при изгибе

В общем случае при изгибе любая точка балки находится в упрощенном плоском напряженном состоянии (рисунок 1.14), по граням которого действуют как нормальные, так и касательные напряжения

Решая обратную задачу для такого напряженного состояния, можно найти положение главной площадки a о и величины главных напряжений σ 1 , σ 3 по следующим зависимостям

Проведем анализ напряженного состояния опасных точек балки. Для этого рассмотрим расчетную схему простой балки с эпюрами поперечной силы Q и изгибающего момента M (рисунок 1.15). По высоте сечения этой балки построим эпюры нормальных, касательных и главных напряжений с учетом зависимостей (1.8)-(1.10).

В общем случае полная проверка прочности балки при изгибе выполняется по следующим трем типам опасных точек .

Опасные точки I типа : по длине балки находятся в сечениях, где действует максимальный по абсолютному значению изгибающий момент (сечение I-I), а по высоте балки – в крайних волокнах сечения, где возникают максимальные нормальные напряжения (точки 1 и 5). В этих точках имеет место линейное напряженное состояние. Условие прочности для точек I типа представляет такой вид (основное условие прочности )

Опасные точки II типа располагаются по длине балки в сечениях с максимальной поперечной силой (сечение II-II левое и правое), а по высоте балки – на уровне нейтральной линии (точка 3 левая и правая), где действует максимальное касательное напряжение. В этих точках возникает частный случай плоского напряженного состояния – чистый сдвиг. Условие прочности имеет такой вид:

Опасные точки III типа располагаются в сечениях балки, где возникает неблагоприятное сочетание больших изгибающего момента и поперечной силы (сечение III-III левое и правое), а по высоте балки – между крайними волокнами и нейтральной линией, где одновременно большие нормальные и касательные напряжения (точки 2 и 4 левая, правая). В этих точках возникает упрощенное плоское напряженное состояние. Условие прочности для точек III типа записывается согласно теории прочности (например, для пластичного материала: по III или IV теории).

Если по мере выполнения расчетов прочность по одному из условий не выполняется, то необходимо увеличить размеры сечения балки или увеличить номер профиля согласно таблицам сортамента.

Приведенный выше анализ напряженного состояния балок при изгибе позволяет рационально проектировать элементы балочных конструкций с учетом особенностей их нагружения. Так, например, для железобетонных конструкций целесообразно использовать стальную арматуру и располагать её по линиям, совпадающим с траекторией главных растягивающих напряжений.

Деформации при изгибе

Общие понятия

В теории изгиба расчет на прочность балок дополняется расчетом на жесткость. При этом оценивается упругая податливость балки и определяются такие её размеры, при которых возникающие деформации не превышали бы допустимых пределов. Тогда условие жесткости можно представить в таком виде:

где f max – максимальная расчетная деформация (линейная или угловая);

[f ] – допускаемая деформация.

Рассмотрим основные параметры деформированного состояния нагруженной балки (рисунок 2.1).

Упругая линия (у.л.) – искривленная ось балки под действием нагрузки.

Прогиб (y) –– линейное перемещение центра тяжести сечения, отсчитываемое перпендикулярно к исходной оси балки, м.

Горизонтальное смещение (u ) балки, обычно бесконечно малая величина, принимаемая равной 0.

Угол поворота (θ) – угловое перемещение сечения относительно начального положения (иногда может определяться как угол между касательной к упругой линии и исходной осью), град, рад.

При изгибе балки для линейных и угловых перемещений (y и θ) принимают следующие правила знаков (рисунок 2.2):

Прогибy считается положительным, если перемещение точки происходит вверх, т.е. в направлении оси у;

Угол поворота θ считается положительным при повороте сечения против часовой стрелки (это справедливо для правой системы координат, для левой-наоборот).

Между прогибом и углом поворота существует дифференциальная зависимость, которую можно получить рассматривая бесконечно малые координаты некоторой плоской кривой (рисунок 2.3).

(2.2)

На основании (2.3) угол поворота в данном сечении равен производной прогиба по абсциссе сечения.

Таким образом, для нахождения линейных или угловых деформаций в реальных балках необходимо знать её уравнение упругой линии (УУЛБ), которое в общем виде можно представить как функцию от абсциссы сечения

Рассмотрим методы нахождения деформаций при изгибе, основанные на составлении и решении уравнения упругой линии балки.

При плоском поперечном изгибе, когда в сечениях балки действуют и изгибающий моментМ и поперечная сила Q , возникают не только нормальные
, но и касательные напряжения.

Нормальные напряжения при поперечном изгибе рассчитываются по тем же формулам, что и при чистом изгибе:

;
.(6.24)

Рис.6.11. Плоский изгиб

ри выводе формулы примем некоторые допущения:

Касательные напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

Касательные напряжения всюду параллельны силе Q .

Рассмотрим консольную балку, находящуюся в условиях поперечного изгиба под действием силы Р . Построим эпюры внутренних усилий О y , и М z .

На расстоянии x от свободного конца балки выделим элементарный участок балки длиной d x и шириной, равной ширине балки b . Покажем внутренние усилия, действующие по граням элемента: на грани cd возникает поперечная сила Q y и изгибающий момент М z , а на грани ab – также поперечная сила Q y и изгибающий момент M z +dM z (так как Q y остается постоянной по длине балки, а момент М z изменяется, рис. 6.12). На расстоянии у от нейтральной оси отсечем часть элемента ab c d , покажем напряжения, действующие по граням полученного элемента mbcn , и рассмотрим его равновесие. На гранях, являющихся частью наружной поверхности балки, нет напряжений. На боковых гранях элемента от действия изгибающего момента М z , возникают нормальные напряжения:

; (6.25)

. (6.26)

Кроме того, на этих гранях от действия поперечной силы Q y , возникают касательные напряжения , такие же напряжения возникают по закону парности касательных напряжений и на верхней грани элемента.

Составим уравнение равновесия элемента mbcn , проецируя равнодействующие рассмотренных напряжений на ось x :

. (6.29)

Выражение, стоящее под знаком интеграла, представляет собой статический момент боковой грани элемента mbcn относительно оси x , поэтому можем записать

. (6.30)

Учитывая, что, согласно дифференциальным зависимостям Журавского Д. И. при изгибе,

, (6.31)

выражение для касательных напряжений при поперечном изгибе можем переписать следующим образом (формула Журавского )

. (6.32)

Проанализируем формулу Журавского.

Q y – поперечная сила в рассматриваемом сечении;

J z – осевой момент инерции сечения относительно оси z ;

b – ширина сечения в том месте, где определяются касательные напряжения;

–статический момент относительно оси z части сечения, расположенной выше (или ниже) того волокна, где определяется касательное напряжение:

, (6.33)

где и F " – координата центра тяжести и площадь рассматриваемой части сечения, соответственно.

6.6 Полная проверка прочности. Опасные сечения и опасные точки

Для проверки на прочность при изгибе по действующим на балку внешним нагрузкам строят эпюры изменения внутренних усилий по ее длине и определяют опасные сечения балки, для каждого из которых необходимо провести проверку прочности.

При полной проверке прочности таких сечений будет, как минимум, три (иногда они совпадают):

Сечение, в котором изгибающий момент М z достигает своего максимального по модулю значения;

Сечение, в котором поперечная сила Q y , достигает своего максимального по модулю значения;

Сечение, в котором и изгибающий момент М z и поперечная сила Q y достигают по модулю достаточно больших величин.

В каждом из опасных сечений необходимо, построив эпюры нормальных и касательных напряжений, найти опасные точки сечения (проверка прочности проводится для каждой из них), которых также будет, как минимум, три:

Точка, в которой нормальные напряжения , достигают своего максимального значения, - то есть точка на наружной поверхности балки наиболее удаленная от нейтральной оси сечения;

Точка, в которой касательные напряжения достигают своего максимального значения, - точка, лежащая на нейтральной оси сечения;

Точка, в которой и нормальные напряжения, и касательные напряжения, достигают достаточно больших величин (эта проверка имеет смысл для сечений типа тавра или двутавра, где ширина сечения по высоте непостоянна).

Активная, реактивная и полная мощности в цепях с несинусоидальными периодическими напряжениями и токами.

Антитела как главные эффекторные молекулы гуморального звена адаптивного иммунитета

Аполлоний Родосский и возрождение гомеровского эпоса. «Аргонавтика» - сюжет, композиция, главные образы. Особенности стиля.

Ардха-матсьендрасана -неполная царственная поза рыбы, или скручивание позвоночника

В каком случае проводится внеочередная проверка знаний работников?

Величина порогового напряжения и пути ее регулирования

В строительной практике изгиб является пожалуй самым распространенным видом деформаций, который в большей степени характерен для балочных конструкций. Если в поперечных сечениях балки возникает только изгибающий момент, считается, что она испытывает чистый изгиб . Однако, в большинстве случаев наряду с изгибающим моментом в балках возникает еще поперечная сила (Q) , и такой изгиб, соответственно, называется поперечным .

Деформацию изгиба вызывают силы, направленные перпендикулярно к продольной оси балки, или лежащие в проходящих через эту ось плоскостях. Сама ось при воздействии этих сил из прямолинейной превращается в криволинейную (см. Рис.1).

Рис. 1.

Если все действующие на балку нагрузки приложены в одной плоскости, называемой силовой , то изгиб является плоским , а если линия пересечения этой плоскости с плоскостью поперечного сечения (силовой линией) совпадает с одной из главных центральных осей, то изгиб принято называть прямым (см. Рис.2).

Рис. 2.

Нормальные напряжения при изгибе

Итак, при прямом и поперечном изгибе в сечениях балки возникают два силовых фактора (внутренних усилия): изгибающий момент M и поперечная сила Q . Расчетная практика показывает, что изгибающий момент в большинстве случаев имеет решающее значение при подборе сечения и проверке прочности балочных конструкций.

Под действием нагрузки балка прогибается так, что ее нижние волокна удлиняются, а верхние укорачиваются, т.е. изгиб сопровождается появлением нормальных напряжений. При постепенном переходе от удлиняющихся волокон к укорачивающимся (или наоборот) встречается промежуточный слой волокон, который не меняет своей длины. Этот слой называется нейтральным , а линия его пересечения с плоскостью поперечного сечения балки – нейтральной линией или осью. Таким образом, нейтральная линия является геометрическим местом концентрации точек, в которых нормальные напряжения равны нулю.

Для выяснения характера распределения и значения напряжений, вызываемых изгибающим моментом, обратимся к случаю чистого изгиба, характерный пример которого приведен ниже на Рис.3(а).

Рис. 3.

На выше представленной схеме (Рис.3, а) двумя бесконечно близкими сечениями выделен участок балки длиной dz и изображен в укрупненном масштабе (Рис.3, б). Будучи параллельными друг другу до деформации оба сечения взаимно повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол dθ после приложения нагрузки. Длина отрезка нейтрального слоя при этом не изменится.

Любое волокно, лежащее выше или ниже нейтрального слоя, изменит свою длину. Так, относительное удлинение волокон, расположенных на расстоянии «y» от нейтрального слоя, составляет:
где ρ – радиус кривизны изогнутой оси балки.

Эта зависимость выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон пропорциональны их расстоянию от нейтрального слоя . Осталось перейти от деформаций к напряжениям, т.е. рассмотреть физическую сторону задачи. Подставляем зависимость (1) в выражение закона Гука при осевом растяжении (сжатии) и получаем:
т.е. нормальные напряжения изменяются по высоте сечения линейно.

После некоторых преобразований выражение (2) превращается в следующую формулу:
которая позволяет вычислять нормальные напряжения при чистом изгибе балки в любой точке ее поперечного сечения. Изгибающий момент «Mx » и координату «y » удобнее всего брать по абсолютному значению, а знак напряжения устанавливать исходя из характера деформирования балки (при растяжении – плюс, при сжатии – минус), т.е. по эпюре «М», ординаты которой откладывают со стороны растянутых волокон. Нетрудно догадаться, что максимальные значения напряжений возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии.

При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения. Последние усложняю картину деформирования, приводя к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений. Однако тщательные исследования показывают, что искажения, вносимые касательными напряжениями, незначительно влияют на нормальные напряжения. Таким образом, при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба вполне применима теория чистого изгиба. Касательные напряжения в расчетах на прочность как правило не учитываются.

Тематические материалы: