دانش آموزان همیشه می پرسند: "چرا نمی توانم از ماشین حساب در امتحان ریاضی استفاده کنم؟ چگونه جذر یک عدد را بدون ماشین حساب استخراج کنیم؟ بیایید سعی کنیم به این سوال پاسخ دهیم.
چگونه جذر یک عدد را بدون کمک ماشین حساب استخراج کنیم؟
عمل ریشه دوممعکوس عمل مربع کردن
√81= 9 9 2 =81
اگر جذر یک عدد مثبت را بگیرید و حاصل را مربع کنید، همان عدد را بدست می آورید.
از اعداد کوچکی که مجذورات دقیق اعداد طبیعی هستند، مثلاً 1، 4، 9، 16، 25، ...، 100 می توان ریشه های مربع را به صورت شفاهی استخراج کرد. معمولاً در مدرسه جدول مربع های اعداد طبیعی تا بیست را آموزش می دهند. با دانستن این جدول، به راحتی می توان از اعداد 121،144، 169، 196، 225، 256، 289، 324، 361، 400 ریشه های مربع استخراج کرد. از اعداد بزرگتر از 400 می توانید با استفاده از روش انتخاب، آنها را استخراج کنید. بیایید سعی کنیم با یک مثال به این روش نگاه کنیم.
مثال: ریشه عدد 676 را استخراج کنید.
متوجه می شویم که 20 2 = 400، و 30 2 = 900، که به معنای 20 است.< √676 < 900.
مربع های دقیق اعداد طبیعی به 0 ختم می شوند. 1 4; 5 6; 9.
عدد 6 با 4 2 و 6 2 داده می شود.
یعنی اگر ریشه از 676 گرفته شود، 24 یا 26 است.
باقی مانده است که بررسی کنید: 24 2 = 576، 26 2 = 676.
پاسخ: √676 = 26 .
بیشتر مثال: √6889 .
از آنجایی که 80 2 = 6400، و 90 2 = 8100، سپس 80< √6889 < 90.
عدد 9 با 3 2 و 7 2 داده می شود، سپس √6889 برابر است با 83 یا 87.
بیایید بررسی کنیم: 83 2 = 6889.
پاسخ: √6889 = 83 .
اگر حل با استفاده از روش انتخاب برایتان دشوار است، می توانید عبارت رادیکال را فاکتور بگیرید.
مثلا، √893025 را پیدا کنید.
بیایید عدد 893025 را فاکتور کنیم، به یاد داشته باشید، شما این کار را در کلاس ششم انجام دادید.
دریافت می کنیم: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
بیشتر مثال: √20736. بیایید عدد 20736 را فاکتور کنیم:
ما √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144 بدست می آوریم.
البته فاکتورسازی مستلزم دانش علائم تقسیم پذیری و مهارت فاکتورسازی است.
و در نهایت، وجود دارد قانون استخراج ریشه های مربع. با مثال هایی با این قانون آشنا می شویم.
√279841 را محاسبه کنید.
برای استخراج ریشه یک عدد صحیح چند رقمی، آن را از راست به چپ به صورت هایی که دارای 2 رقم هستند تقسیم می کنیم (لبه سمت چپ ممکن است دارای یک رقم باشد). ما آن را اینگونه می نویسیم: 27’98’41
برای به دست آوردن اولین رقم ریشه (5)، جذر بزرگترین مربع کامل موجود در وجه اول سمت چپ (27) را می گیریم.
سپس مربع اولین رقم ریشه (25) از وجه اول کم می شود و وجه بعدی (98) به اختلاف اضافه می شود (کاهش).
در سمت چپ عدد حاصل 298، دو رقم ریشه (10) را بنویسید، تعداد تمام ده‌ها عدد قبلی (29/2 ≈ 2) را بر آن تقسیم کنید، ضریب را آزمایش کنید (102 ∙ 2 = 204). نباید بیشتر از 298 باشد و (2) را بعد از اولین رقم ریشه بنویسید.
سپس ضریب 204 حاصل از 298 کم می شود و یال بعدی (41) به اختلاف (94) اضافه می شود.
در سمت چپ عدد 9441 حاصل، حاصل ضرب دو رقمی ریشه (52 ∙2 = 104) را بنویسید، تعداد تمام ده‌های عدد 9441 (944/104 ≈ 9) را بر این حاصل تقسیم کنید، ضریب (1049 ∙9 = 9441) باید 9441 باشد و آن را (9) بعد از رقم دوم ریشه یادداشت کنید.
ما پاسخ √279841 = 529 را دریافت کردیم.
به همین ترتیب استخراج کنید ریشه کسرهای اعشاری. فقط عدد رادیکال باید به صورت تقسیم شود تا کاما بین چهره ها باشد.
مثال. مقدار √0.00956484 را پیدا کنید.
فقط به یاد داشته باشید که اگر یک کسر اعشاری دارای تعداد فرد اعشار باشد، نمی توان جذر آن را استخراج کرد.
بنابراین اکنون سه راه برای استخراج ریشه مشاهده کرده اید. مناسب ترین مورد را انتخاب کنید و تمرین کنید. برای یادگیری حل مشکلات، باید آنها را حل کنید. و اگر سوالی دارید، در درس های من ثبت نام کنید.
وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.
تبریک می گویم: امروز ما به ریشه ها نگاه خواهیم کرد - یکی از جالب ترین موضوعات در کلاس هشتم. :)
بسیاری از مردم در مورد ریشه ها گیج می شوند، نه به این دلیل که آنها پیچیده هستند (چه چیزی در آن پیچیده است - چند تعریف و یکی دو ویژگی دیگر)، بلکه به این دلیل که در بیشتر کتاب های درسی مدرسه، ریشه ها از طریق چنین جنگلی تعریف می شوند که فقط نویسندگان کتاب های درسی خودشان می توانند این نوشته را درک کنند. و حتی پس از آن فقط با یک بطری ویسکی خوب. :)
بنابراین، اکنون صحیح ترین و شایسته ترین تعریف ریشه را ارائه می دهم - تنها چیزی که واقعاً باید به خاطر بسپارید. و سپس توضیح خواهم داد: چرا همه اینها مورد نیاز است و چگونه می توان آن را در عمل اعمال کرد.
اما ابتدا یک نکته مهم را به خاطر بسپارید که بسیاری از گردآورندگان کتاب‌های درسی به دلایلی آن را فراموش می‌کنند:
ریشه ها می توانند درجه زوج باشند ($\sqrt(a)$ مورد علاقه ما، و همچنین انواع $\sqrt(a)$ و زوج $\sqrt(a)$) و درجه فرد (همه انواع $\sqrt) (a)$، $\ sqrt(a)$، و غیره). و تعریف ریشه درجه فرد تا حدودی با یک درجه زوج متفاوت است.
احتمالاً 95٪ از تمام خطاها و سوء تفاهم های مرتبط با ریشه ها در این لعنتی "تا حدودی متفاوت" پنهان شده است. بنابراین بیایید یک بار برای همیشه اصطلاحات را روشن کنیم:
تعریف. حتی ریشه nاز عدد $a$ هر است غیر منفیعدد $b$ طوری است که $((b)^(n))=a$. و ریشه فرد همان عدد $a$ به طور کلی هر عدد $b$ است که برای آن برابری یکسان برقرار است: $((b)^(n))=a$.
در هر صورت، ریشه به این صورت مشخص می شود:
\(آ)\]
عدد $n$ در چنین نمادی را توان ریشه و عدد $a$ را عبارت رادیکال می نامند. به طور خاص، برای $n=2$، ما جذر «مورد علاقه» خود را می گیریم (به هر حال، این یک ریشه درجه زوج است)، و برای $n=3$، یک ریشه مکعبی (درجه فرد) به دست می آوریم. همچنین اغلب در مسائل و معادلات یافت می شود.
مثال ها. نمونه های کلاسیک ریشه های مربع:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \پایان (تراز کردن)\]
به هر حال، $\sqrt(0)=0$ و $\sqrt(1)=1$. این کاملاً منطقی است، زیرا $((0)^(2))=0$ و $((1)^(2))=1$.
ریشه های مکعبی نیز رایج هستند - نیازی به ترس از آنها نیست:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \پایان (تراز کردن)\]
خوب، چند "مثال عجیب و غریب":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \پایان (تراز کردن)\]
اگر تفاوت بین درجه زوج و فرد را متوجه نشدید، تعریف را دوباره بخوانید. این خیلی مهمه!
در این بین یک ویژگی ناخوشایند ریشه ها را در نظر خواهیم گرفت که به همین دلیل نیاز به ارائه تعریف جداگانه ای برای توان زوج و فرد داشتیم.
پس از خواندن این تعریف، بسیاری از دانش‌آموزان می‌پرسند: «ریاضیدانان وقتی به این موضوع رسیدند چه سیگاری می‌کشیدند؟» و واقعاً: اصلاً چرا این همه ریشه لازم است؟
برای پاسخ به این سوال، لحظه ای به دوران ابتدایی برگردیم. به یاد داشته باشید: در آن زمان های دور، زمانی که درختان سبزتر و کوفته ها خوشمزه تر بودند، دغدغه اصلی ما این بود که اعداد را به درستی ضرب کنیم. خوب، چیزی شبیه "پنج در پنج - بیست و پنج"، همین. اما شما می توانید اعداد را نه به صورت جفت، بلکه به صورت سه تایی، چهارگانه و به طور کلی مجموعه های کامل ضرب کنید:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \پایان (تراز کردن)\]
با این حال، این موضوع نیست. ترفند متفاوت است: ریاضیدانان افراد تنبلی هستند، بنابراین برای نوشتن ضرب ده پنج به این صورت مشکل داشتند:
به همین دلیل به مدارج رسیدند. چرا تعداد فاکتورها را به‌جای رشته‌ای بلند به‌عنوان بالانوشت نمی‌نویسیم؟ چیزی شبیه به این:
خیلی راحته! همه محاسبات به میزان قابل توجهی کاهش می یابد، و شما مجبور نیستید یک دسته کاغذ پوستی و دفترچه یادداشت را برای نوشتن 5183 هدر دهید. این رکورد را قوه عدد می نامیدند، یک دسته از خواص در آن یافت شد، اما معلوم شد که خوشبختی کوتاه مدت است.
پس از یک مهمانی بزرگ نوشیدنی، که فقط برای "کشف" درجه ها برگزار شد، یک ریاضیدان سرسخت ناگهان پرسید: "اگر درجه یک عدد را بدانیم، اما خود عدد ناشناخته باشد، چه؟" اکنون، در واقع، اگر بدانیم که یک عدد معین $b$، مثلاً، به توان 5 243 می دهد، پس چگونه می توانیم حدس بزنیم که خود عدد $b$ با چه چیزی برابر است؟
این مشکل بسیار جهانی تر از آن چیزی است که ممکن است در نگاه اول به نظر برسد. زیرا معلوم شد که برای اکثر قدرت های "آماده" چنین اعداد "اولیه" وجود ندارد. خودتان قضاوت کنید:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \پایان (تراز کردن)\]
اگر $((b)^(3))=50$ باشد چه؟ معلوم می شود که باید عدد خاصی را پیدا کنیم که وقتی در سه برابر آن ضرب شود، 50 به ما بدهد. اما این عدد چیست؟ به وضوح بزرگتر از 3 است، زیرا 3 3 = 27 است< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. یعنی این عدد بین سه تا چهار قرار دارد، اما شما نمی‌دانید که برابر با چه چیزی است.
دقیقاً به همین دلیل است که ریاضیدانان به $n$th ریشه رسیدند. دقیقاً به همین دلیل است که نماد رادیکال $\sqrt(*)$ معرفی شد. برای تعیین همان عدد $b$، که به میزان مشخص شده مقداری از قبل شناخته شده را به ما می دهد
\[\sqrt[n](a)=b\پیکان راست ((b)^(n))=a\]
من بحث نمی کنم: اغلب این ریشه ها به راحتی محاسبه می شوند - چندین نمونه از این قبیل را در بالا دیدیم. اما با این حال، در بیشتر موارد، اگر به یک عدد دلخواه فکر کنید و سپس سعی کنید ریشه یک درجه دلخواه را از آن استخراج کنید، با مشکل وحشتناکی روبرو خواهید شد.
چه چیزی آنجاست! حتی ساده ترین و آشناترین $\sqrt(2)$ را نمی توان به شکل معمول ما - به عنوان یک عدد صحیح یا یک کسری - نشان داد. و اگر این عدد را در یک ماشین حساب وارد کنید، این را خواهید دید:
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
همانطور که می بینید، بعد از نقطه اعشار یک دنباله بی پایان از اعداد وجود دارد که از هیچ منطقی تبعیت نمی کنند. البته می توانید این عدد را گرد کنید تا به سرعت با اعداد دیگر مقایسه کنید. مثلا:
\[\sqrt(2)=1.4142...\تقریباً 1.4 \lt 1.5\]
یا این هم یک مثال دیگر:
\[\sqrt(3)=1.73205...\تقریباً 1.7 \gt 1.5\]
اما همه این گرد کردن، اولا، کاملاً خشن هستند. و ثانیاً ، شما همچنین باید بتوانید با مقادیر تقریبی کار کنید ، در غیر این صورت می توانید تعداد زیادی خطای غیر آشکار را بگیرید (به هر حال ، مهارت مقایسه و گرد کردن باید در نمایه Unified State Examination آزمایش شود).
بنابراین، در ریاضیات جدی شما نمی توانید بدون ریشه انجام دهید - آنها همان نمایندگان مساوی مجموعه اعداد واقعی $\mathbb(R)$ هستند، درست مانند کسری ها و اعداد صحیح که مدت ها برای ما آشنا بودند.
ناتوانی در نمایش ریشه به عنوان کسری از شکل $\frac(p)(q)$ به این معنی است که این ریشه یک عدد گویا نیست. چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند و نمی توان آنها را به طور دقیق نشان داد مگر با کمک یک رادیکال یا ساختارهای دیگر که مخصوص این کار طراحی شده است (لگاریتم ها، توان ها، حدود و غیره). اما بیشتر در مورد آن زمان دیگر.
بیایید چندین مثال را در نظر بگیریم که پس از تمام محاسبات، اعداد غیر منطقی همچنان در پاسخ باقی خواهند ماند.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\تقریباً -1.2599... \\ \پایان (تراز کردن)\]
طبیعتاً از ظاهر ریشه تقریباً غیرممکن است حدس بزنید که چه اعدادی بعد از نقطه اعشار می آیند. با این حال، می توانید روی یک ماشین حساب حساب کنید، اما حتی پیشرفته ترین ماشین حساب تاریخ فقط چند رقم اول یک عدد غیر منطقی را به ما می دهد. بنابراین نوشتن پاسخ ها به شکل $\sqrt(5)$ و $\sqrt(-2)$ بسیار صحیح تر است.
دقیقا به همین دلیل اختراع شدند. برای ضبط راحت پاسخ ها.
خواننده با دقت احتمالا قبلاً متوجه شده است که تمام جذرهای داده شده در مثال ها از اعداد مثبت گرفته شده است. خوب، حداقل از ابتدا. اما ریشه های مکعب را می توان با آرامش از هر عددی - مثبت یا منفی - استخراج کرد.
چرا این اتفاق می افتد؟ به نمودار تابع $y=((x)^(2))$ نگاهی بیندازید:
نمودار یک تابع درجه دوم دو ریشه می دهد: مثبت و منفی بیایید سعی کنیم $\sqrt(4)$ را با استفاده از این نمودار محاسبه کنیم. برای انجام این کار، یک خط افقی $y=4$ روی نمودار رسم می شود (با رنگ قرمز مشخص شده است) که در دو نقطه با سهمی قطع می شود: $((x)_(1))=2$ و $((x) )_(2)) =-2$. این کاملاً منطقی است، زیرا
همه چیز با عدد اول مشخص است - مثبت است، بنابراین ریشه است:
اما با نکته دوم چه باید کرد؟ مثل اینکه چهار به طور همزمان دو ریشه دارد؟ به هر حال، اگر عدد −2 را مربع کنیم، 4 نیز به دست می‌آید. چرا $\sqrt(4)=-2$ را نمی‌نویسیم؟ و چرا معلمان به چنین پست هایی طوری نگاه می کنند که انگار می خواهند شما را بخورند؟ :)
مشکل این است که اگر هیچ شرط اضافی را اعمال نکنید، آنگاه چهار ریشه دوم خواهد داشت - مثبت و منفی. و هر عدد مثبتی دو عدد از آنها را نیز خواهد داشت. اما اعداد منفی اصلاً ریشه نخواهند داشت - این را می توان از همان نمودار مشاهده کرد، زیرا سهمی هرگز زیر محور نمی افتد. y، یعنی مقادیر منفی را نمی پذیرد.
یک مشکل مشابه برای همه ریشه های دارای توان زوج رخ می دهد:
به همین دلیل است که در تعریف ریشه یک درجه زوج $n$ به طور خاص تصریح شده است که پاسخ باید یک عدد غیر منفی باشد. اینگونه از ابهام خلاص می شویم.
اما برای $n$ فرد چنین مشکلی وجود ندارد. برای مشاهده این، اجازه دهید به نمودار تابع $y=((x)^(3))$ نگاه کنیم:
سهمی مکعبی می تواند هر مقداری را بگیرد، بنابراین ریشه مکعب را می توان از هر عددی گرفت از این نمودار دو نتیجه می توان گرفت:
حیف که این موارد ساده در اکثر کتاب های درسی توضیح داده نشده است. در عوض، مغز ما با انواع ریشه های حسابی و خواص آنها شروع به اوج گرفتن می کند.
بله، من بحث نمی کنم: شما همچنین باید بدانید که ریشه حسابی چیست. و من در یک درس جداگانه در مورد این موضوع صحبت خواهم کرد. امروز ما نیز در مورد آن صحبت خواهیم کرد، زیرا بدون آن همه افکار در مورد ریشه های تعدد $n$-th ناقص خواهند بود.
اما ابتدا باید تعریفی را که در بالا ارائه دادم به وضوح درک کنید. در غیر این صورت به دلیل فراوانی اصطلاحات، چنان آشفتگی در سر شما شروع می شود که در نهایت هیچ چیز را متوجه نمی شوید.
تنها کاری که باید انجام دهید این است که تفاوت بین نشانگرهای زوج و فرد را درک کنید. بنابراین، بیایید یک بار دیگر همه چیزهایی را که واقعاً باید در مورد ریشه ها بدانید را جمع آوری کنیم:
- ریشه یک درجه زوج فقط از یک عدد غیر منفی وجود دارد و خود همیشه یک عدد غیر منفی است. برای اعداد منفی چنین ریشه ای تعریف نشده است.
- اما ریشه یک درجه فرد از هر عددی وجود دارد و خود می تواند هر عددی باشد: برای اعداد مثبت مثبت است و برای اعداد منفی، همانطور که سرپوش اشاره می کند، منفی است.
آیا سخت است؟ نه، سخت نیست. واضح است؟ بله، کاملا واضح است! پس حالا کمی با محاسبات تمرین می کنیم.
ریشه ها خواص و محدودیت های عجیب و غریب زیادی دارند - این در یک درس جداگانه مورد بحث قرار خواهد گرفت. بنابراین ، اکنون ما فقط مهمترین "ترفند" را در نظر خواهیم گرفت که فقط برای ریشه هایی با شاخص زوج اعمال می شود. بیایید این ویژگی را به صورت فرمول بنویسیم:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\ چپ| x\راست|\]
به عبارت دیگر، اگر عددی را به توان زوج برسانیم و سپس ریشه همان توان را استخراج کنیم، عدد اصلی را بدست نمی آوریم، بلکه مدول آن را بدست می آوریم. این یک قضیه ساده است که به راحتی قابل اثبات است (کافی است $x$ غیر منفی را جداگانه در نظر بگیرید و سپس منفی را جداگانه در نظر بگیرید). معلمان دائماً در مورد آن صحبت می کنند، در هر کتاب درسی مدرسه آورده شده است. اما به محض حل معادلات غیرمنطقی (یعنی معادلات حاوی یک علامت رادیکال) دانش آموزان به اتفاق آرا این فرمول را فراموش می کنند.
برای درک دقیق موضوع، بیایید تمام فرمول ها را برای یک دقیقه فراموش کنیم و سعی کنیم دو عدد را مستقیماً محاسبه کنیم:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
اینها نمونه های بسیار ساده ای هستند. اکثر مردم مثال اول را حل می کنند، اما بسیاری از مردم در مورد دوم گیر می کنند. برای حل چنین مزخرفی بدون مشکل، همیشه این روش را در نظر بگیرید:
بیایید به اولین عبارت نگاه کنیم: $\sqrt(((3)^(4)))$. بدیهی است که ابتدا باید عبارت زیر ریشه را محاسبه کنید:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
سپس ریشه چهارم عدد 81 را استخراج می کنیم:
حالا بیایید همین کار را با عبارت دوم انجام دهیم. ابتدا عدد -3 را به توان چهارم می‌رسانیم که باید آن را در خود 4 برابر کنیم:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ چپ(-3 \راست)=81\]
ما یک عدد مثبت دریافت کردیم، زیرا تعداد کل منفی های محصول 4 است و همه آنها یکدیگر را خنثی می کنند (در نهایت، منهای برای منهای یک مثبت می دهد). سپس دوباره ریشه را استخراج می کنیم:
در اصل، این خط نمی‌توانست نوشته شود، زیرا بی‌معنی است که پاسخ یکسان باشد. آن ها یک ریشه زوج از همان قدرت زوج، معایب را «سوزاند»، و از این نظر، نتیجه از یک ماژول معمولی قابل تشخیص نیست:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4))=\left| -3 \right|=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]
این محاسبات با تعریف ریشه یک درجه زوج مطابقت خوبی دارد: نتیجه همیشه غیر منفی است و علامت رادیکال نیز همیشه دارای یک عدد غیر منفی است. در غیر این صورت، ریشه تعریف نشده است.
بنابراین، در هیچ موردی نباید بدون فکر ریشه ها و درجات را کاهش داد، در نتیجه ظاهراً عبارت اصلی را "ساده" کرد. زیرا اگر ریشه یک عدد منفی داشته باشد و نمایش زوج باشد، یکسری مشکل به دست می آید.
با این حال، همه این مشکلات فقط برای حتی شاخص ها مرتبط هستند.
طبیعتاً ریشه هایی با توان های فرد نیز ویژگی خاص خود را دارند که اصولاً با زوج وجود ندارد. برای مثال:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
به طور خلاصه، می توانید منهای را از زیر علامت ریشه های درجات فرد حذف کنید. این یک ویژگی بسیار مفید است که به شما امکان می دهد تمام معایب را "بیرون بیندازید":
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \پایان (تراز کردن)\]
این ویژگی ساده بسیاری از محاسبات را بسیار ساده می کند. اکنون نیازی به نگرانی نیست: اگر یک عبارت منفی در زیر ریشه پنهان بود، اما درجه در ریشه یکنواخت بود، چه؟ فقط کافی است تمام منفی های خارج از ریشه را "بیرون بیندازیم"، پس از آن می توان آنها را در یکدیگر ضرب کرد، تقسیم کرد، و به طور کلی کارهای مشکوک زیادی انجام داد، که در مورد ریشه های "کلاسیک" تضمین می شود که ما را به سمت آن سوق دهد. یک خطا.
و در اینجا تعریف دیگری به صحنه می آید - همان تعریفی که در بیشتر مدارس مطالعه عبارات غیرمنطقی را با آن آغاز می کنند. و بدون آن استدلال ما ناقص خواهد بود. ملاقات!
بیایید برای لحظه ای فرض کنیم که در زیر علامت ریشه فقط اعداد مثبت یا در موارد شدید صفر وجود دارد. بیایید شاخص های زوج/فرد را فراموش کنیم، بیایید تمام تعاریف ارائه شده در بالا را فراموش کنیم - ما فقط با اعداد غیر منفی کار خواهیم کرد. بعدش چی شد؟
و سپس یک ریشه حسابی دریافت خواهیم کرد - تا حدی با تعاریف "استاندارد" ما همپوشانی دارد، اما هنوز با آنها متفاوت است.
تعریف. ریشه حسابی درجه $n$th یک عدد غیر منفی $a$ یک عدد غیر منفی $b$ است به طوری که $((b)^(n))=a$.
همانطور که می بینیم، ما دیگر علاقه ای به برابری نداریم. در عوض، محدودیت جدیدی ظاهر شد: عبارت رادیکال اکنون همیشه غیر منفی است، و خود ریشه نیز غیرمنفی است.
برای درک بهتر تفاوت ریشه حسابی با ریشه معمولی، به نمودارهای سهمی مربع و مکعبی که قبلاً با آنها آشنا هستیم نگاهی بیندازید:
منطقه جستجو ریشه حسابی - اعداد غیر منفی همانطور که می بینید، از این به بعد ما فقط به آن دسته از نمودارهایی علاقه مند هستیم که در سه ماهه مختصات اول قرار دارند - جایی که مختصات $x$ و $y$ مثبت (یا حداقل صفر) هستند. دیگر نیازی نیست به اندیکاتور نگاه کنید تا بفهمید که آیا حق داریم یک عدد منفی را زیر ریشه قرار دهیم یا خیر. زیرا دیگر اصولاً اعداد منفی در نظر گرفته نمی شوند.
ممکن است بپرسید: "خب، چرا به چنین تعریف خنثی شده ای نیاز داریم؟" یا: «چرا نمی‌توانیم با تعریف استانداردی که در بالا ارائه شد کنار بیاییم؟»
خوب، من فقط یک ویژگی می دهم که به دلیل آن تعریف جدید مناسب می شود. به عنوان مثال، قانون قدرت:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
لطفاً توجه داشته باشید: ما می توانیم عبارت رادیکال را به هر توانی افزایش دهیم و در همان زمان توان ریشه را در همان توان ضرب کنیم - و نتیجه همان عدد خواهد بود! در اینجا نمونه هایی وجود دارد:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \پایان (تراز کردن)\]
خب پس مشکل اصلی چیه؟ چرا نمی توانستیم این کار را زودتر انجام دهیم؟ در اینجا دلیل آن است. بیایید یک عبارت ساده را در نظر بگیریم: $\sqrt(-2)$ - این عدد در درک کلاسیک ما کاملاً عادی است، اما از نقطه نظر ریشه حسابی کاملاً غیرقابل قبول است. بیایید سعی کنیم آن را تبدیل کنیم:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \راست))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end (تراز کردن)$
همانطور که می بینید، در حالت اول، منهای را از زیر رادیکال حذف کردیم (حق داریم، زیرا توان فرد است)، و در حالت دوم از فرمول بالا استفاده کردیم. آن ها از نظر ریاضی همه چیز طبق قوانین انجام می شود.
WTF؟! چگونه یک عدد می تواند مثبت و منفی باشد؟ به هیچ وجه. فقط این است که فرمول توان، که برای اعداد مثبت و صفر عالی عمل می کند، در مورد اعداد منفی شروع به ایجاد بدعت کامل می کند.
برای رهایی از چنین ابهامی بود که ریشه های حسابی اختراع شد. یک درس بزرگ جداگانه به آنها اختصاص داده شده است که در آن تمام خواص آنها را با جزئیات در نظر می گیریم. بنابراین ما اکنون روی آنها تمرکز نمی کنیم - درس قبلاً خیلی طولانی شده است.
مدت ها فکر کردم که آیا این موضوع را در یک پاراگراف جداگانه قرار دهم یا خیر. در نهایت تصمیم گرفتم آن را اینجا بگذارم. این مطالب برای کسانی در نظر گرفته شده است که می خواهند ریشه ها را حتی بهتر درک کنند - نه در سطح متوسط "مدرسه"، بلکه در سطح نزدیک به سطح المپیاد.
بنابراین: علاوه بر تعریف "کلاسیک" ریشه $n$th یک عدد و تقسیم مربوط به آن به توانای زوج و فرد، یک تعریف "بزرگسال" تر وجود دارد که به هیچ وجه به برابری و سایر ظرافت ها بستگی ندارد. به این ریشه جبری می گویند.
تعریف. ریشه جبری $n$th هر $a$ مجموعه تمام اعداد $b$ است به طوری که $((b)^(n))=a$. هیچ عنوان مشخصی برای چنین ریشه هایی وجود ندارد، بنابراین ما فقط یک خط تیره در بالا قرار می دهیم:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \راست. \راست\) \]
تفاوت اساسی با تعریف استاندارد ارائه شده در ابتدای درس این است که ریشه جبری یک عدد خاص نیست، بلکه یک مجموعه است. و از آنجایی که ما با اعداد واقعی کار می کنیم، این مجموعه تنها در سه نوع موجود است:
مورد آخر سزاوار بررسی دقیق تر است. بیایید چند مثال را بشماریم تا تفاوت را بفهمیم.
مثال. عبارات را ارزیابی کنید:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
راه حل. اولین عبارت ساده است:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \راست\)\]
این دو عدد هستند که بخشی از مجموعه هستند. زیرا مجذور هر کدام یک چهار می دهد.
\[\overline(\sqrt(-27))=\چپ\( -3 \راست\)\]
در اینجا مجموعه ای را می بینیم که فقط از یک عدد تشکیل شده است. این کاملاً منطقی است، زیرا توان ریشه فرد است.
در نهایت، آخرین عبارت:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
یک مجموعه خالی دریافت کردیم. زیرا یک عدد واقعی وجود ندارد که وقتی به توان چهارم (یعنی زوج!) افزایش یابد، عدد منفی -16 را به ما بدهد.
یادداشت پایانی لطفاً توجه داشته باشید: تصادفی نبود که در همه جا متوجه شدم که ما با اعداد واقعی کار می کنیم. زیرا اعداد مختلط نیز وجود دارد - محاسبه $\sqrt(-16)$ در آنجا کاملاً امکان پذیر است و بسیاری چیزهای عجیب دیگر.
با این حال، اعداد مختلط تقریباً هرگز در دروس ریاضیات مدارس مدرن ظاهر نمی شوند. آنها از اکثر کتاب های درسی حذف شده اند، زیرا مقامات ما این موضوع را "بسیار دشوار برای درک" می دانند.
واقعیت 1.
\(\bullet\) بیایید مقداری غیر منفی \(a\) (یعنی \(a\geqslant 0\)) را در نظر بگیریم. سپس (حساب) ریشه دوماز عدد \(a\) چنین عدد غیر منفی \(b\) نامیده می شود، وقتی مربع شود عدد \(a\) را بدست می آوریم: \[\sqrt a=b\quad \text(همانند)\quad a=b^2\]از تعریف بر می آید که \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). این محدودیت ها شرط مهمی برای وجود جذر است و باید به خاطر داشت!
به یاد بیاورید که هر عددی که مجذور شود یک نتیجه غیر منفی می دهد. یعنی \(100^2=10000\geqslant 0\) و \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) برابر چیست؟ می دانیم که \(5^2=25\) و \((-5)^2=25\) . از آنجایی که طبق تعریف باید یک عدد غیر منفی پیدا کنیم، پس \(-5\) مناسب نیست، بنابراین، \(\sqrt(25)=5\) (از آنجا که \(25=5^2\) ).
یافتن مقدار \(\sqrt a\) را گرفتن جذر عدد \(a\) و عدد \(a\) را عبارت رادیکال می نامند.
\(\bullet\) بر اساس تعریف، عبارت \(\sqrt(-25)\)، \(\sqrt(-4)\) و غیره. منطقی نیست
واقعیت 2.
برای محاسبات سریع، یادگیری جدول مربع های اعداد طبیعی از \(1\) تا \(20\) مفید خواهد بود: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400 \\ \hline \end(آرایه)\]
واقعیت 3.
چه عملیاتی را می توان با ریشه های مربع انجام داد؟
\(\گلوله\) مجموع یا اختلاف ریشه های مربع با جذر مجموع یا تفاوت برابر نیست، یعنی \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]بنابراین، اگر برای مثال نیاز به محاسبه \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) دارید، ابتدا باید مقادیر \(\sqrt(25)\) و \(\ را پیدا کنید. sqrt(49)\ ) و سپس آنها را تا کنید. از این رو، \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] اگر مقادیر \(\sqrt a\) یا \(\sqrt b\) در هنگام اضافه کردن \(\sqrt a+\sqrt b\) یافت نشد، چنین عبارتی بیشتر تبدیل نمی شود و همانطور که هست باقی می ماند. برای مثال، در مجموع \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) می‌توانیم پیدا کنیم \(\sqrt(49)\) \(7\) است، اما \(\sqrt 2\) را نمی‌توان در به هر حال، به همین دلیل است \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). متأسفانه، این عبارت را نمی توان بیشتر ساده کرد\(\bullet\) حاصل ضرب/ضریب ریشه های مربع برابر است با جذر حاصلضرب/ضریب، یعنی \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (مشروط بر اینکه دو طرف برابری معنا داشته باشد)
مثال: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) با استفاده از این ویژگی ها، یافتن ریشه های مربع اعداد بزرگ با فاکتورگیری آنها راحت است.
بیایید به یک مثال نگاه کنیم. بیایید \(\sqrt(44100)\) را پیدا کنیم. از آنجایی که \(44100:100=441\) ، سپس \(44100=100\cdot 441\) . با توجه به معیار تقسیم پذیری عدد \(441\) بر \(9\) بخش پذیر است (چون مجموع ارقام آن 9 است و بر 9 بخش پذیر است) بنابراین \(441:9=49\) یعنی \(441=9\ cdot 49\) .
بنابراین ما دریافتیم: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3)) = \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) بیایید نحوه وارد کردن اعداد زیر علامت جذر را با استفاده از مثال عبارت \(5\sqrt2\) (نشان کوتاه برای عبارت \(5\cdot \sqrt2\)) نشان دهیم. از آنجایی که \(5=\sqrt(25)\) پس \
همچنین توجه داشته باشید که برای مثال،
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
چرا اینطور است؟ بیایید با استفاده از مثال 1 توضیح دهیم). همانطور که قبلاً فهمیدید، ما نمی توانیم به نحوی عدد \(\sqrt2\) را تغییر دهیم. بیایید تصور کنیم که \(\sqrt2\) مقداری \(a\) است. بر این اساس، عبارت \(\sqrt2+3\sqrt2\) چیزی بیش از \(a+3a\) نیست (یک عدد \(a\) به اضافه سه عدد دیگر از همان اعداد \(a\)). و می دانیم که این برابر با چهار عدد از جمله \(a\) است، یعنی \(4\sqrt2\) .
واقعیت 4.
\(\bullet\) وقتی نمی‌توانید علامت \(\sqrt () \\) ریشه (رادیکال) را هنگام پیدا کردن مقدار یک عدد از بین ببرید، اغلب می‌گویند "شما نمی‌توانید ریشه را استخراج کنید". . به عنوان مثال، می توانید ریشه عدد \(16\) را بگیرید زیرا \(16=4^2\) , بنابراین \(\sqrt(16)=4\) . اما استخراج ریشه عدد \(3\)، یعنی پیدا کردن \(\sqrt3\) غیرممکن است، زیرا هیچ عددی وجود ندارد که مربع آن \(3\) را بدهد.
چنین اعدادی (یا عباراتی با چنین اعدادی) غیر منطقی هستند. مثلا اعداد \(\sqrt3، \ 1+\sqrt2، \ \sqrt(15)\)و غیره غیر منطقی هستند
همچنین اعداد \(\pi\) (عدد "pi" تقریبا برابر با \(3.14\))، \(e\) غیر منطقی هستند (این عدد را عدد اویلر می نامند، تقریبا برابر است با \(2.7 \)) و غیره.
\(\bullet\) لطفاً توجه داشته باشید که هر عددی یا گویا یا غیرمنطقی خواهد بود. و همه اعداد گویا و غیر منطقی با هم مجموعه ای به نام را تشکیل می دهند مجموعه ای از اعداد واقعیاین مجموعه با حرف \(\mathbb(R)\) نشان داده می شود.
این بدان معنی است که تمام اعدادی که در حال حاضر می شناسیم، اعداد واقعی نامیده می شوند.
واقعیت 5.
\(\bullet\) مدول یک عدد واقعی \(a\) یک عدد غیر منفی \(|a|\) برابر با فاصله از نقطه \(a\) تا \(0\) در خط واقعی به عنوان مثال، \(|3|\) و \(|-3|\) برابر با 3 هستند، زیرا فاصله از نقاط \(3\) و \(-3\) تا \(0\) برابر است. یکسان و برابر با \(3 \) .
\(\bullet\) اگر \(a\) یک عدد غیر منفی است، آنگاه \(|a|=a\) .
مثال: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) اگر \(a\) یک عدد منفی است، آنگاه \(|a|=-a\) .
مثال: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
آنها می گویند که برای اعداد منفی، مدول منهای را "می خورد"، در حالی که اعداد مثبت و همچنین عدد \(0\) توسط مدول بدون تغییر باقی می مانند.
ولیاین قانون فقط برای اعداد اعمال می شود. اگر در زیر علامت مدول شما یک ناشناخته \(x\) (یا یک مجهول دیگر) مثلا \(|x|\) وجود دارد که نمی دانیم مثبت، صفر یا منفی است، پس خلاص شوید. از مدول ما نمی توانیم. در این حالت، این عبارت ثابت می ماند: \(|x|\) . \(\bullet\) فرمول های زیر برقرار است: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a))، \text( ارائه شده ) a\geqslant 0\]خیلی اوقات اشتباه زیر انجام می شود: آنها می گویند \(\sqrt(a^2)\) و \((\sqrt a)^2\) یکی هستند. این تنها زمانی درست است که \(a\) یک عدد مثبت یا صفر باشد. اما اگر \(a\) یک عدد منفی باشد، این نادرست است. توجه به این مثال کافی است. بیایید به جای \(a\) عدد \(-1\) را در نظر بگیریم. سپس \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\)، اما عبارت \((\sqrt (-1))^2\) اصلا وجود ندارد (بالاخره، استفاده از علامت ریشه غیرممکن است که اعداد منفی قرار دهید!).
بنابراین توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که \(\sqrt(a^2)\) برابر با \((\sqrt a)^2\) نیست!مثال: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\)، زیرا \(-\sqrt2<0\)
;
\(\فانتوم(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) از آنجایی که \(\sqrt(a^2)=|a|\) , سپس \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (عبارت \(2n\) یک عدد زوج را نشان می دهد)
یعنی هنگام گرفتن ریشه عددی که تا حدی است، این درجه نصف می شود.
مثال:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (توجه داشته باشید که اگر ماژول ارائه نشده باشد، معلوم می شود که ریشه عدد برابر با \(-25\ است. )؛ اما به یاد داریم که با تعریف ریشه این اتفاق نمی افتد: هنگام استخراج ریشه، همیشه باید یک عدد مثبت یا صفر بدست آوریم)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (زیرا هر عددی به توان زوج غیرمنفی است)
واقعیت 6.
چگونه دو جذر را با هم مقایسه کنیم؟
\(\bullet\) برای ریشه های مربع درست است: اگر \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) \(\sqrt(50)\) و \(6\sqrt2\) را مقایسه کنید. اول، اجازه دهید عبارت دوم را به \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). بنابراین، از زمانی که \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) \(\sqrt(50)\) بین چه اعداد صحیحی قرار دارد؟
از آنجایی که \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) و \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) بیایید \(\sqrt 2-1\) و \(0.5\) را با هم مقایسه کنیم. بیایید فرض کنیم که \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((یکی را به هر دو طرف اضافه کنید))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((مربع هر دو طرف))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end (تراز شده)\]می بینیم که یک نابرابری نادرست به دست آورده ایم. بنابراین، فرض ما نادرست بود و \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
توجه داشته باشید که افزودن یک عدد معین به دو طرف نامساوی تاثیری بر علامت آن ندارد. ضرب/تقسیم هر دو طرف نامساوی بر عدد مثبت نیز بر علامت آن تاثیری ندارد، اما ضرب/تقسیم در عدد منفی علامت نامساوی را معکوس می‌کند!
فقط در صورتی می توانید هر دو طرف یک معادله/نابرابری را مربع کنید. به عنوان مثال، در نابرابری مثال قبلی، می توانید هر دو طرف را مربع کنید، در نابرابری \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) باید به خاطر داشت که \[\شروع (تراز شده) &\sqrt 2\حدود 1.4\\ &\sqrt 3\حدود 1.7 \پایان (تراز شده)\]دانستن معنای تقریبی این اعداد به شما در مقایسه اعداد کمک می کند! \(\bullet\) برای استخراج ریشه (اگر بتوان آن را استخراج کرد) از تعداد زیادی که در جدول مربع ها نیست، ابتدا باید تعیین کنید که بین کدام "صدها" قرار دارد، سپس - بین کدام " ده ها» و سپس آخرین رقم این عدد را مشخص کنید. بیایید با یک مثال نشان دهیم که چگونه این کار می کند.
بیایید \(\sqrt(28224)\) را در نظر بگیریم. ما می دانیم که \(100^2=10\,000\)، \(200^2=40\,000\) و غیره. توجه داشته باشید که \(28224\) بین \(10\,000\) و \(40\,000\) است. بنابراین، \(\sqrt(28224)\) بین \(100\) و \(200\) است.
حالا بیایید تعیین کنیم که عدد ما بین کدام "ده ها" قرار دارد (به عنوان مثال، بین \(120\) و \(130\)). همچنین از جدول مربع ها می دانیم که \(11^2=121\) , \(12^2=144\) و غیره، سپس \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) ، \(130^2=16900\) ، \(140^2=19600\) ، \(150^2=22500\) ، \(160^2=25600\) ، \(170^2=28900 \ ) . بنابراین می بینیم که \(28224\) بین \(160^2\) و \(170^2\) است. بنابراین، عدد \(\sqrt(28224)\) بین \(160\) و \(170\) است.
بیایید سعی کنیم رقم آخر را تعیین کنیم. بیایید به یاد بیاوریم که در انتها چه اعداد تک رقمی، وقتی که مربع می شوند، \(4\) می دهند؟ اینها \(2^2\) و \(8^2\) هستند. بنابراین، \(\sqrt(28224)\) به 2 یا 8 ختم می شود. بیایید این را بررسی کنیم. بیایید \(162^2\) و \(168^2\) را پیدا کنیم:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
بنابراین، \(\sqrt(28224)=168\) . وویلا!
برای حل مناسب آزمون دولتی واحد در ریاضیات، ابتدا باید مطالب نظری را مطالعه کنید، که شما را با قضایای متعدد، فرمول ها، الگوریتم ها و غیره آشنا می کند. در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که این بسیار ساده است. با این حال، یافتن منبعی که در آن تئوری آزمون دولتی واحد در ریاضیات به روشی آسان و قابل درک برای دانش‌آموزان با هر سطح آموزشی ارائه شود، در واقع کار نسبتاً دشواری است. کتاب های درسی مدرسه را نمی توان همیشه در دسترس داشت. و یافتن فرمول های اساسی برای امتحان دولتی واحد در ریاضیات می تواند حتی در اینترنت دشوار باشد.
ما از شما دعوت می کنیم تا شخصاً تمام مزایای رویکرد ما در سیستم سازی و ارائه مطالب آموزشی را ارزیابی کنید.
وقت آن است که آن را مرتب کنیم روش های استخراج ریشه. آنها بر اساس ویژگی های ریشه ها، به ویژه، بر تساوی هستند، که برای هر عدد غیر منفی b صادق است.
در زیر روش های اصلی استخراج ریشه را یکی یکی بررسی خواهیم کرد.
بیایید با ساده ترین حالت شروع کنیم - استخراج ریشه از اعداد طبیعی با استفاده از جدول مربع ها، جدول مکعب ها و غیره.
اگر جداول مربع، مکعب و غیره اگر آن را در دسترس ندارید، منطقی است که از روش استخراج ریشه استفاده کنید، که شامل تجزیه عدد رادیکال به عوامل اول است.
شایان ذکر است که چه چیزی برای ریشه هایی با توان های فرد امکان پذیر است.
در نهایت، بیایید روشی را در نظر بگیریم که به ما امکان می دهد ارقام مقدار ریشه را به ترتیب پیدا کنیم.
بیا شروع کنیم.
در ساده ترین موارد، جداول مربع، مکعب و غیره به شما امکان استخراج ریشه را می دهد. این جداول چیست؟
جدول مربع های اعداد صحیح از 0 تا 99 شامل (نشان داده شده در زیر) از دو ناحیه تشکیل شده است. منطقه اول جدول بر روی پس زمینه خاکستری قرار دارد؛ با انتخاب یک ردیف خاص و یک ستون خاص، به شما امکان می دهد یک عدد از 0 تا 99 بنویسید. برای مثال، بیایید یک ردیف 8 ده تایی و یک ستون 3 واحدی را انتخاب کنیم، با این کار عدد 83 را ثابت کردیم. منطقه دوم بقیه جدول را اشغال می کند. هر سلول در محل تقاطع یک ردیف خاص و یک ستون خاص قرار دارد و شامل مربع عدد مربوطه از 0 تا 99 است. در تقاطع ردیف انتخابی ما از 8 ده و ستون 3 از یک، سلولی با شماره 6889 وجود دارد که مربع عدد 83 است.
جداول مکعب ها، جداول توان های چهارم اعداد از 0 تا 99 و ... شبیه جدول مربع ها هستند، فقط در منطقه دوم حاوی مکعب ها، قدرت های چهارم و غیره هستند. اعداد مربوطه
جداول مربع، مکعب، قدرت چهارم و غیره به شما امکان استخراج ریشه های مربع، ریشه های مکعبی، ریشه های چهارم و غیره را می دهد. بر این اساس از اعداد این جداول. اجازه دهید اصل استفاده از آنها را در هنگام استخراج ریشه توضیح دهیم.
فرض کنید باید ریشه n عدد a را استخراج کنیم، در حالی که عدد a در جدول توان های n موجود است. با استفاده از این جدول عدد b را به گونه ای می یابیم که a=b n. سپس 
بنابراین عدد b ریشه مورد نظر درجه n خواهد بود.
به عنوان مثال، بیایید نحوه استفاده از جدول مکعبی برای استخراج ریشه مکعب 19683 را نشان دهیم. عدد 19683 را در جدول مکعب ها می یابیم، از آن در می یابیم که این عدد مکعب عدد 27 است، بنابراین، 
.
واضح است که جداول توان های n برای استخراج ریشه بسیار راحت هستند. با این حال، آنها اغلب در دسترس نیستند و تدوین آنها نیاز به زمان دارد. علاوه بر این، اغلب لازم است ریشه هایی را از اعدادی که در جداول مربوطه موجود نیستند استخراج کرد. در این موارد، باید به روش های دیگر ریشه یابی متوسل شوید.
یک راه نسبتاً راحت برای استخراج ریشه یک عدد طبیعی (البته اگر ریشه استخراج شود) این است که عدد رادیکال را به عوامل اول تجزیه کنید. خود نکته این است: پس از آن بسیار آسان است که آن را به عنوان یک توان با توان مورد نظر نشان دهید، که به شما امکان می دهد مقدار ریشه را بدست آورید. بیایید این نکته را روشن کنیم.
ریشه n ام یک عدد طبیعی a گرفته شود و مقدار آن برابر b باشد. در این حالت برابری a=b n درست است. عدد b را مانند هر عدد طبیعی می توان به صورت حاصلضرب تمام عوامل اول آن p 1 , p 2 , ..., p m به شکل p 1 · p 2 · ... · p m و عدد رادیکال a در این مورد نشان داد. به صورت (p 1 ·p 2 ·…·p m) n نشان داده می شود. از آنجایی که تجزیه یک عدد به عوامل اول منحصر به فرد است، تجزیه عدد رادیکال a به ضرایب اول به صورت (p 1 ·p 2 ·…·p m) n خواهد بود که محاسبه مقدار ریشه را ممکن می کند. مانند .
توجه داشته باشید که اگر تجزیه به عوامل اول یک عدد رادیکال a را نتوان به شکل (p 1 · p 2 · … · p m) n نشان داد، آنگاه ریشه n چنین عددی a به طور کامل استخراج نمی شود.
بیایید در هنگام حل مثال ها این را بفهمیم.
مثال.
جذر 144 را بگیرید.
راه حل.
اگر به جدول مربع های ارائه شده در پاراگراف قبل نگاه کنید، به وضوح می بینید که 144 = 12 2، که از آن مشخص است که جذر 144 برابر با 12 است.
اما با توجه به این نکته، ما به چگونگی استخراج ریشه با تجزیه عدد رادیکال 144 به عوامل اول علاقه مندیم. بیایید به این راه حل نگاه کنیم.
تجزیه کنیم 144 تا عوامل اول:
یعنی 144=2·2·2·2·3·3. بر اساس تجزیه حاصل، تبدیلات زیر را می توان انجام داد: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. از این رو، 
.
با استفاده از خواص درجه و خواص ریشه، می توان راه حل را کمی متفاوت فرموله کرد: .
پاسخ:
برای تجمیع مطالب، راه حل های دو مثال دیگر را در نظر بگیرید.
مثال.
مقدار ریشه را محاسبه کنید.
راه حل.
فاکتورسازی اول عدد رادیکال 243 به شکل 243=3 5 است. بدین ترتیب، 
.
پاسخ:
مثال.
آیا مقدار ریشه یک عدد صحیح است؟
راه حل.
برای پاسخ به این سوال، بیایید عدد رادیکال را در ضرایب اول قرار دهیم و ببینیم که آیا می توان آن را به صورت مکعبی از یک عدد صحیح نشان داد یا خیر.
ما 285 768=2 3 · 3 6 · 7 2 داریم. بسط حاصل را نمی توان به صورت مکعبی از یک عدد صحیح نشان داد، زیرا توان ضریب اول 7 مضرب سه نیست. بنابراین، ریشه مکعب 285768 را نمی توان به طور کامل استخراج کرد.
پاسخ:
خیر
وقت آن است که بفهمیم چگونه ریشه یک عدد کسری را استخراج کنیم. بگذارید عدد رادیکال کسری به صورت p/q نوشته شود. با توجه به خاصیت ریشه یک ضریب برابری زیر صادق است. از این برابری بر می آید قانون استخراج ریشه کسری: ریشه کسری برابر است با نصاب ریشه صورت تقسیم بر ریشه مخرج.
بیایید به مثالی از استخراج ریشه از کسری نگاه کنیم.
مثال.
جذر کسری مشترک 25/169 چقدر است؟
راه حل.
با استفاده از جدول مربع ها متوجه می شویم که جذر صورت کسر اصلی برابر با 5 و جذر مخرج برابر با 13 است. سپس 
. این استخراج ریشه کسر مشترک 25/169 را کامل می کند.
پاسخ:
ریشه یک کسر اعشاری یا عدد مختلط پس از جایگزینی اعداد رادیکال با کسرهای معمولی استخراج می شود.
مثال.
ریشه مکعب کسر اعشاری 474.552 را بگیرید.
راه حل.
بیایید کسر اعشاری اصلی را به عنوان یک کسر معمولی تصور کنیم: 474.552=474552/1000. سپس 
. باقی مانده است که ریشه های مکعبی را که در صورت و مخرج کسری به دست آمده است استخراج کنیم. زیرا 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 و 1 000 = 10 3، سپس 
و 
. تنها چیزی که باقی می ماند تکمیل محاسبات است 
.
پاسخ:
.
ارزش آن را دارد که در استخراج ریشه ها از اعداد منفی صحبت کنیم. هنگام مطالعه ریشه ها، گفتیم که وقتی توان ریشه یک عدد فرد باشد، می تواند زیر علامت ریشه یک عدد منفی وجود داشته باشد. ما به این ورودی ها معنی زیر را دادیم: برای یک عدد منفی -a و یک توان فرد از ریشه 2 n-1، 
. این برابری می دهد قانون استخراج ریشه های فرد از اعداد منفی: برای استخراج ریشه یک عدد منفی باید ریشه عدد مثبت مقابل را بگیرید و جلوی نتیجه آن علامت منفی قرار دهید.
بیایید به مثال راه حل نگاه کنیم.
مثال.
مقدار ریشه را پیدا کنید.
راه حل.
بیایید عبارت اصلی را طوری تبدیل کنیم که زیر علامت ریشه یک عدد مثبت وجود داشته باشد: 
. حالا عدد مختلط را با یک کسر معمولی جایگزین کنید: 
. ما قانون استخراج ریشه یک کسر معمولی را اعمال می کنیم: 
. باقی مانده است که ریشه ها را در صورت و مخرج کسر حاصل محاسبه کنیم: 
.
در اینجا خلاصه ای کوتاه از راه حل آورده شده است: 
.
پاسخ:
.
در حالت کلی، در زیر ریشه عددی وجود دارد که با استفاده از تکنیک های مورد بحث در بالا، نمی توان آن را به عنوان توان n هر عددی نشان داد. اما در این مورد نیاز به دانستن معنای یک ریشه معین، حداقل تا یک علامت خاص وجود دارد. در این مورد، برای استخراج ریشه، می توانید از الگوریتمی استفاده کنید که به شما امکان می دهد به طور متوالی تعداد کافی از مقادیر رقمی عدد مورد نظر را بدست آورید.
اولین قدم این الگوریتم این است که بفهمیم مهم ترین بیت از مقدار ریشه چیست. برای انجام این کار، اعداد 0، 10، 100، ... به ترتیب به توان n افزایش می یابند تا لحظه ای که عددی از عدد رادیکال بیشتر شود. سپس عددی که در مرحله قبل به توان n رساندیم نشان دهنده مهم ترین رقم مربوطه خواهد بود.
برای مثال، هنگام استخراج جذر پنج، این مرحله از الگوریتم را در نظر بگیرید. اعداد 0، 10، 100، ... را بگیرید و آنها را مربع کنید تا عددی بزرگتر از 5 به دست آوریم. ما 0 2 = 0 داریم<5 , 10 2 =100>5، به این معنی که مهم ترین رقم، رقم یکان خواهد بود. مقدار این بیت و همچنین مقادیر پایین تر در مراحل بعدی الگوریتم استخراج ریشه پیدا می شود.
تمام مراحل بعدی الگوریتم با هدف روشن کردن متوالی ارزش ریشه با یافتن مقادیر بیت های بعدی از مقدار مورد نظر ریشه، شروع از بالاترین و حرکت به پایین ترین آنها، انجام می شود. به عنوان مثال، مقدار ریشه در مرحله اول 2، در مرحله دوم - 2.2، در مرحله سوم - 2.23 و به همین ترتیب 2.236067977 به نظر می رسد. اجازه دهید نحوه یافتن مقادیر ارقام را شرح دهیم.
ارقام با جستجو در مقادیر احتمالی 0، 1، 2، ...، 9 پیدا می شوند. در این حالت، توان های n اعداد مربوطه به صورت موازی محاسبه شده و با عدد رادیکال مقایسه می شوند. اگر در مرحله ای مقدار درجه از عدد رادیکال بیشتر شود، آنگاه مقدار رقم مربوط به مقدار قبلی پیدا شده در نظر گرفته می شود و انتقال به مرحله بعدی الگوریتم استخراج ریشه انجام می شود؛ اگر این اتفاق نیفتد، پس مقدار این رقم 9 است.
اجازه دهید این نکات را با استفاده از همان مثال استخراج جذر پنج توضیح دهیم.
ابتدا مقدار عدد واحد را پیدا می کنیم. مقادیر 0، 1، 2، ...، 9 را به ترتیب با محاسبه 0 2، 1 2، ...، 9 2 طی می کنیم تا زمانی که مقداری بزرگتر از عدد رادیکال 5 به دست آوریم. ارائه تمام این محاسبات در قالب یک جدول راحت است: 
بنابراین مقدار رقم واحد 2 است (از 2 2<5
, а 2 3 >5). بیایید به سراغ یافتن ارزش مکان دهم برویم. در این حالت، اعداد 2.0، 2.1، 2.2، ...، 2.9 را مربع می کنیم و مقادیر حاصل را با عدد رادیکال 5 مقایسه می کنیم: 
از 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5، سپس مقدار مکان دهم 2 است. می توانید برای یافتن مقدار مکان صدم ادامه دهید: 
به این ترتیب مقدار بعدی ریشه پنج پیدا شد که برابر با 2.23 است. و بنابراین می توانید به یافتن مقادیر ادامه دهید: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
برای تجمیع مطالب، استخراج ریشه را با دقت صدم با استفاده از الگوریتم در نظر گرفته شده تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.
ابتدا مهم ترین رقم را تعیین می کنیم. برای این کار اعداد 0، 10، 100 و ... را مکعب می کنیم. تا زمانی که عددی بزرگتر از 2,151,186 بدست آوریم. ما 0 3 = 0 داریم<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186، بنابراین مهم ترین رقم رقم ده ها است.
بیایید ارزش آن را تعیین کنیم. 
از 103<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186، سپس مقدار مکان ده ها 1 است. بریم سراغ واحدها. 
بنابراین، مقدار یکان رقم 2 است. بریم سراغ دهمین. 
از آنجایی که حتی 12.9 3 کمتر از عدد رادیکال 2 151.186 است، پس مقدار مکان دهم 9 است. باقی مانده است که آخرین مرحله الگوریتم را انجام دهیم؛ این مقدار ریشه را با دقت لازم به ما می دهد. 
در این مرحله، مقدار ریشه به صدم مشخص می شود: 
.
در پایان این مقاله، می خواهم بگویم که راه های زیادی برای استخراج ریشه وجود دارد. اما برای اکثر وظایف، مواردی که در بالا مطالعه کردیم کافی هستند.
کتابشناسی - فهرست کتب.
توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")
این مفهوم بسیار ساده است. طبیعی است، من می گویم. ریاضیدانان سعی می کنند برای هر عملی واکنشی بیابند. جمع وجود دارد - تفریق نیز وجود دارد. ضرب وجود دارد - تقسیم نیز وجود دارد. مربع وجود دارد ... پس وجود دارد جذر گرفتن!همین. این اقدام ( ریشه دوم) در ریاضیات با این نماد نشان داده شده است:
خود نماد یک کلمه زیبا نامیده می شود " افراطی".
چگونه ریشه را استخراج کنیم؟بهتر است نگاه کنید مثال ها.
جذر 9 چقدر است؟ کدام عدد مربع به ما 9 می دهد؟ 3 مربع به ما 9 می دهد! آنهایی که:
اما جذر صفر چیست؟ مشکلی نیست! صفر چه عددی مربع را می سازد؟ بله صفر میده! به معنای:
فهمیدم، جذر چیست؟سپس در نظر می گیریم مثال ها:
پاسخ ها (به هم ریخته): 6; 1 4; 9; 5.
تصمیم گرفت؟ واقعا چقدر راحت تره؟!
اما... آدم وقتی فلان کار را با ریشه می بیند چه می کند؟
آدم شروع به غمگینی می کند... به سادگی و سبکی ریشه هایش اعتقادی ندارد. اگرچه به نظر می رسد که می داند جذر چیست...
به این دلیل که فرد هنگام مطالعه ریشه چندین نکته مهم را نادیده گرفته است. سپس این مدها انتقام بی رحمانه ای از آزمون ها و امتحانات می گیرند...
نقطه یک شما باید ریشه ها را از روی دید تشخیص دهید!
جذر 49 چقدر است؟ هفت؟ درست! از کجا فهمیدی هفت بود؟ مربع هفت شد و 49 گرفت؟ درست! لطفا توجه داشته باشید که ریشه را استخراج کنیداز 49 ما باید عملیات معکوس را انجام می دادیم - مربع 7! و مطمئن باشید که از دست ندهیم. یا می توانستند از دست بدهند...
این سختی است استخراج ریشه. مربعمی توانید از هر شماره ای بدون مشکل استفاده کنید. یک عدد را در خودش با یک ستون ضرب کنید - همین. اما برای استخراج ریشهچنین فناوری ساده و ایمن وجود ندارد. ما باید سوار کردنپاسخ دهید و با مربع کردن صحیح بودن آن را بررسی کنید.
این فرآیند پیچیده خلاق - انتخاب پاسخ - بسیار ساده می شود اگر شما یاد آوردنمربع اعداد محبوب مثل جدول ضرب. مثلاً اگر باید 4 را در 6 ضرب کنید، چهار را 6 برابر نمی کنید، درست است؟ پاسخ 24 بلافاصله می آید. اگرچه همه آن را دریافت نمی کنند، بله ...
برای کار آزادانه و موفقیت آمیز با ریشه ها، کافی است مربع اعداد از 1 تا 20 را بدانید. آنجاو بازگشت.آن ها شما باید بتوانید به راحتی هر دو مثلاً 11 و جذر 121 را بخوانید. برای رسیدن به این حفظ، دو راه وجود دارد. اولین مورد یادگیری جدول مربع هاست. این کمک بزرگی در حل مثال ها خواهد بود. دوم حل مثال های بیشتر است. این به شما کمک زیادی می کند تا جدول مربع ها را به خاطر بسپارید.
و بدون ماشین حساب! فقط برای اهداف آزمایشی در غیر این صورت در طول امتحان بی رحمانه سرعتتان را کاهش می دهید...
بنابراین، جذر چیستو چطور استخراج ریشه- فکر می کنم واضح است. حالا بیایید دریابیم که از چه چیزی می توانیم آنها را استخراج کنیم.
نقطه دو ریشه، من شما را نمی شناسم!
از چه اعدادی می توان جذر گرفت؟ بله، تقریباً هر کدام از آنها. راحت تر می توان فهمید که از چه چیزی است ممنوع استآنها را استخراج کنید
بیایید سعی کنیم این ریشه را محاسبه کنیم:
برای این کار باید عددی را انتخاب کنیم که مجذور آن -4 به ما بدهد. انتخاب می کنیم.
چیه، مناسب نیست؟ 2 2 +4 می دهد. (-2) 2 دوباره +4 می دهد! همین... هیچ عددی نیست که با مجذور شدن به ما عدد منفی بدهد! اگرچه من این اعداد را می دانم. اما من به شما نمی گویم). به دانشگاه بروید و خودتان متوجه خواهید شد.
با هر عدد منفی هم همین داستان اتفاق می افتد. از این رو نتیجه گیری:
عبارتی که در آن یک عدد منفی زیر علامت جذر وجود دارد - معنی ندارد! این یک عملیات ممنوع است. به اندازه تقسیم بر صفر حرام است. این واقعیت را محکم به خاطر بسپار!یا به عبارت دیگر:
شما نمی توانید از اعداد منفی جذر مربع استخراج کنید!
اما از بین همه موارد دیگر، ممکن است. به عنوان مثال، محاسبه کاملاً ممکن است
در نگاه اول، این بسیار دشوار است. انتخاب کسرها و مجذور کردن آنها... نگران نباشید. وقتی خواص ریشه ها را درک کنیم، چنین مثال هایی به همان جدول مربع ها کاهش می یابد. زندگی آسان تر خواهد شد!
خوب، کسری. اما هنوز با عباراتی مانند:
خوبه. همه یکسان. جذر دو عددی است که با مجذور شدن دو عدد به ما می دهد. فقط این عدد کاملاً ناهموار است ... اینجاست:
جالب اینجاست که این کسر هرگز تمام نمی شود... چنین اعدادی غیر منطقی نامیده می شوند. در ریشه های مربع این رایج ترین چیز است. به هر حال، به همین دلیل است که عبارات با ریشه نامیده می شوند غیر منطقی. واضح است که نوشتن چنین کسر نامتناهی همیشه ناخوشایند است. بنابراین به جای کسر نامتناهی آن را به این صورت رها می کنند:
اگر هنگام حل یک مثال، به چیزی رسیدید که قابل استخراج نیست، مانند:
سپس آن را همینطور رها می کنیم. این پاسخ خواهد بود.
شما باید به وضوح معنی نمادها را درک کنید
البته اگر ریشه عدد گرفته شود صاف، باید این کار را انجام دهید. جواب تکلیف مثلاً در فرم است
یک جواب کاملا کامل
و البته، شما باید مقادیر تقریبی را از حافظه بدانید:
این دانش تا حد زیادی به ارزیابی وضعیت در کارهای پیچیده کمک می کند.
نقطه سه حیله گر ترین.
سردرگمی اصلی در کار با ریشه ها از همین نقطه ایجاد می شود. اوست که به توانایی های خودش اعتماد می کند... بیایید با این نکته درست برخورد کنیم!
ابتدا بیایید دوباره جذر چهار عدد از آنها را بگیریم. آیا قبلاً با این ریشه شما را اذیت کرده ام؟) مهم نیست، حالا جالب خواهد شد!
4 چه عددی را مربع می کند؟ خوب، دو، دو - من پاسخ های ناراضی می شنوم ...
درست. دو اما همچنین منهای دو 4 می دهد مجذور... در ضمن جواب
درست و جواب
اشتباه فاحش مثل این.
پس قضیه چیه؟
در واقع، (-2) 2 = 4. و تحت تعریف جذر چهار منهای دوکاملا مناسب... این هم جذر چهار است.
ولی! در درس ریاضی مدرسه مرسوم است که جذر را در نظر بگیرند فقط اعداد غیر منفی!یعنی صفر و همه مثبت هستند. حتی یک اصطلاح خاص اختراع شد: از شماره آ- این غیر منفیعددی که مربع آن است آ. نتایج منفی هنگام استخراج یک جذر حسابی به سادگی کنار گذاشته می شوند. در مدرسه، همه چیز ریشه مربع است - حسابی. اگر چه این مورد به طور خاص ذکر نشده است.
خوب، این قابل درک است. حتی بهتر است با نتایج منفی خود را خسته نکنید ... این هنوز سردرگمی نیست.
سردرگمی هنگام حل معادلات درجه دوم شروع می شود. برای مثال باید معادله زیر را حل کنید.
معادله ساده است، پاسخ را می نویسیم (همانطور که آموزش داده شد):
این پاسخ (البته کاملاً صحیح است) فقط یک نسخه اختصاری است دوپاسخ می دهد:
ایست ایست! درست بالا نوشتم که جذر یک عدد است همیشهغیر منفی! و این یکی از پاسخ ها است - منفی! اختلال. این اولین (اما نه آخرین) مشکلی است که باعث بی اعتمادی به ریشه ها می شود... بیایید این مشکل را حل کنیم. بیایید پاسخ ها را (فقط برای درک!) اینگونه بنویسیم:
پرانتز اصل پاسخ را تغییر نمی دهد. فقط با براکت جداش کردم نشانه هااز جانب ریشه. حالا به وضوح می بینید که خود ریشه (در پرانتز) هنوز یک عدد غیر منفی است! و نشانه ها هستند نتیجه حل معادله. از این گذشته، هنگام حل هر معادله ای باید بنویسیم همه X هایی که با جایگزین کردن آنها در معادله اصلی، نتیجه صحیح را به دست می دهند. ریشه پنج (مثبت!) با هر دو مثبت و منفی در معادله ما قرار می گیرد.
مثل این. اگر شما فقط جذر را بگیریداز هر چیزی، تو همیشهشما دریافت می کنید یکی غیر منفینتیجه مثلا:
زیرا آن - جذر حسابی.
اما اگر معادله درجه دوم را حل می کنید، مانند:
که همیشهمعلوم می شود دوپاسخ (با مثبت و منفی):
زیرا این راه حل معادله است.
امید، جذر چیستشما نکات خود را روشن کرده اید. اکنون باقی مانده است که بفهمیم با ریشه ها چه کاری می توان انجام داد، خواص آنها چیست. و چه نکات و مشکلاتی وجود دارد ... متاسفم، سنگ!)
همه اینها در درس های زیر است.
به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)
می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)
می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.
