قضیه کسینوسیک قضیه از هندسه اقلیدسی است که قضیه فیثاغورث را تعمیم می دهد.
قضیه کسینوس:
برای مثلث صفحه ای که اضلاع آن آ, ب, جو زاویه α ، که در مقابل طرف است آ، رابطه زیر معتبر است:
آ 2 = ب 2 + ج 2 - 2 قبل از میلاد مسیح cosα.
مربع یک ضلع مثلث برابر است با مجموع مربع های دو ضلع دیگر منهای دو برابر حاصلضرب این ضلع ها و کسینوس زاویه بین آنها.
برای مشخص بودن:
بگذارید یک مثلث وجود داشته باشد ABC. از بالا سیبه کنار ABارتفاع را پایین آورد سی دی. به معنای:
AD = b cos α،
DB = c - b cos α
قضیه فیثاغورث را برای 2 مثلث قائم الزاویه می نویسیم ADCو BDC:
h 2 = b 2 - (b cos α) 2 (1)
h 2 = a 2 - (c - b cos α) 2 (2)
سمت راست معادلات (1) و (2) را با هم برابر می کنیم:
b 2 - (b cos α) 2 = a 2 - (c - b cos α) 2
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α.
اگر 1 تا از زوایای قاعده منفرد باشد (ارتفاع به ادامه قاعده می رسد)، کاملاً شبیه به آن چیزی است که در بالا بحث شد.
طرفین را مشخص کنید بو ج:
b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ.
قضیه کسینوس تعمیم قضیه فیثاغورث برای یک مثلث دلخواه است.برای مثلث صفحه ای با ضلع های a،b،c و زاویه α در مقابل ضلع a، رابطه زیر صادق است:
یک مثلث دلخواه ABC را در نظر بگیرید. فرض کنید که اندازه ضلع AC (برابر عدد معین b است)، اندازه ضلع AB (برابر عدد مشخصی c) و زاویه بین این ضلع ها که مقدار آن است را می دانیم. برابر با α است. بیایید اندازه ضلع BC را پیدا کنیم (طول آن را از طریق متغیر a نشان می دهیم)
برای اثبات قضایای کسینوسبیایید ساخت و سازهای اضافی را انجام دهیم. از راس C به سمت AB ارتفاع CD را پایین می آوریم.
بیایید طول ضلع AB را پیدا کنیم. همانطور که از شکل مشخص است، در نتیجه ساخت و ساز اضافی می توان گفت که
AB = AD + BD
بیایید طول قطعه AD را پیدا کنیم. با توجه به اینکه مثلث ADC قائم الزاویه است، طول هیپوتنوز (b) و زاویه (α) آن را می دانیم، سپس اندازه ضلع AD را می توان با استفاده از ویژگی های توابع مثلثاتی از نسبت اضلاع آن پیدا کرد. در مثلث قائم الزاویه:
AD/AC = cos α
جایی که
AD = AC cos α
AD = b cos α
طول ضلع BD را به عنوان تفاوت بین AB و AD پیدا می کنیم:
BD = AB - AD
BD = c − b cos α
حال بیایید قضیه فیثاغورث را برای دو مثلث قائم الزاویه ADC و BDC بنویسیم:
برای مثلث BDC
CD 2 + BD 2 = قبل از میلاد 2
برای مثلث ADC
CD 2 + AD 2 = AC 2
اجازه دهید توجه داشته باشیم که هر دو مثلث دارای یک ضلع مشترک هستند - CD. بیایید طول آن را برای هر مثلث تعیین کنیم - مقدار آن را در سمت چپ عبارت، و بقیه را در سمت راست قرار دهید.
سی دی 2= قبل از میلاد 2 - BD 2
سی دی 2= AC 2 - AD 2
از آنجایی که سمت چپ معادلات (مربع ضلع CD) برابر است، ضلع سمت راست معادلات را برابر می کنیم:
BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2
بر اساس محاسباتی که قبلا انجام شد، ما قبلاً می دانیم که:
AD = b cos α
BD = c − b cos α
A.C. = ب(با شرایط)
و مقدار سمت BC را به عنوان نشان می دهیم آ.
BC=a
(این چیزی است که ما باید پیدا کنیم)
BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2
بیایید نامگذاری حروف طرفین را با نتایج محاسبات خود جایگزین کنیم
a 2 - ( c − b cos α ) 2 = b 2 - ( b cos α ) 2
مقدار مجهول (a) را به سمت چپ و قسمت های باقی مانده معادله را به سمت راست منتقل کنید
a 2 = (c − b cos α ) 2 + b 2 - (b cos α ) 2
بیایید پرانتزها را باز کنیم
a 2 = b 2 + c 2 - 2c b cos α + (b cos α) 2 - (b cos α) 2
ما گرفتیم
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α
قضیه کسینوس ثابت شده است.
همه دانش‌آموزان و به‌ویژه بزرگسالان نمی‌دانند که قضیه کسینوس مستقیماً با قضیه فیثاغورث مرتبط است. به عبارت دقیق تر، دومی یک مورد خاص از اولی است. این نکته و همچنین دو راه برای اثبات قضیه کسینوس به شما کمک می کند تا فردی آگاه تر شوید. علاوه بر این، تمرین در بیان مقادیر از عبارات اولیه، تفکر منطقی را به خوبی توسعه می دهد. فرمول طولانی قضیه مورد مطالعه قطعا شما را مجبور به تلاش و پیشرفت می کند.
این قضیه برای یک مثلث دلخواه فرمول بندی و اثبات شده است. بنابراین، در هر شرایطی، اگر دو ضلع و در برخی موارد سه و زاویه داده شود، و نه لزوماً بین آنها، همیشه قابل استفاده است. هر نوع مثلثی که باشد، قضیه همیشه کار خواهد کرد.
و اکنون در مورد تعیین مقادیر در همه عبارات. بهتر است فوراً موافقت کنید تا بعداً مجبور به توضیح چندین بار نباشید. برای این منظور جدول زیر تهیه شده است.
بنابراین، قضیه کسینوس به صورت زیر فرموله می شود:
مربع ضلع هر مثلث برابر است با مجموع مجذور دو ضلع دیگر آن منهای دو برابر حاصلضرب همین اضلاع و کسینوس زاویه بین آنها.
البته طولانی است، اما اگر ماهیت آن را درک کنید، به راحتی قابل یادآوری است. حتی می توانید تصور کنید که یک مثلث بکشید. یادآوری بصری همیشه آسان تر است.
فرمول این قضیه به صورت زیر خواهد بود:
کمی طولانی است، اما همه چیز منطقی است. اگر کمی دقیق تر نگاه کنید، می بینید که حروف تکرار می شوند، به این معنی که به خاطر سپردن آن دشوار نیست.
از آنجایی که برای همه مثلث ها صادق است، می توانید هر یک از انواع را برای استدلال انتخاب کنید. بگذارید شکلی با تمام زوایای تیز باشد. بیایید یک مثلث با زاویه تند دلخواه را در نظر بگیریم که زاویه C از زاویه B بزرگتر است. از راس با این زاویه بزرگ، باید یک عمود بر ضلع مقابل پایین بیاورید. ارتفاع رسم شده مثلث را به دو مستطیل تقسیم می کند. این برای اثبات مورد نیاز خواهد بود.
ضلع به دو بخش تقسیم می شود: x، y. آنها باید بر حسب مقادیر شناخته شده بیان شوند. قسمتی که به مثلثی ختم می شود با فرض b برابر است با علامت نشان داده می شود:
x = b * cos A.
دیگری برابر با این تفاوت خواهد بود:
y = c - در * cos A.
اکنون باید قضیه فیثاغورث را برای دو مثلث قائم الزاویه بنویسید و ارتفاع را به عنوان مقدار مجهول در نظر بگیرید. این فرمول ها به شکل زیر خواهند بود:
n 2 = در 2 - (در * cos A) 2،
n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.
این برابری ها حاوی همان عبارات سمت چپ هستند. این بدان معنی است که سمت راست آنها نیز برابر خواهد بود. نوشتن آن آسان است. حالا باید براکت ها را باز کنید:
در 2 - در 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * در * cos A - در 2 * (cos A) 2.
اگر انتقال و کاهش عبارت های مشابه را در اینجا انجام دهید، فرمول اولیه را خواهید گرفت که بعد از فرمول بندی، یعنی قضیه کسینوس نوشته می شود. اثبات کامل است.
بسیار کوتاهتر از قبلی است. و اگر خواص بردارها را بدانید، قضیه کسینوس برای مثلث به سادگی ثابت می شود.
اگر اضلاع a، b، c به ترتیب با بردارهای BC، AC و AB مشخص شوند، تساوی برقرار است:
BC = AC - AB.
حالا باید چند مرحله را انجام دهید. اولین مورد، تربیع دو طرف برابری است:
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.
سپس تساوی باید به شکل اسکالر بازنویسی شود، با در نظر گرفتن اینکه حاصل ضرب بردارها برابر است با کسینوس زاویه بین آنها و مقادیر اسکالر آنها:
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.
تنها چیزی که باقی می ماند بازگشت به نماد قبلی است و دوباره قضیه کسینوس را دریافت می کنیم:
a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.
برای پیدا کردن ضلع، باید جذر قضیه کسینوس را بگیرید. فرمول مربع های یکی از ضلع های دیگر به شکل زیر خواهد بود:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.
برای نوشتن عبارت مربع ضلع V، باید در برابری قبلی جایگزین کنید بابر Vو بالعکس و زاویه B را زیر کسینوس قرار دهید.
از فرمول اصلی قضیه می توان مقدار کسینوس زاویه A را بیان کرد:
cos A = (در 2 + c 2 - a 2) / (2 در * c).
فرمول های زوایای دیگر نیز به همین ترتیب مشتق شده اند. تمرین خوبی است که خودتان آنها را بنویسید.
طبیعتا نیازی به حفظ این فرمول ها نیست. برای درک قضیه و توانایی استخراج این عبارات از نماد اصلی آن کافی است.
فرمول اصلی قضیه امکان یافتن ضلع را در صورتی که زاویه بین دو زاویه شناخته شده قرار نگیرد، ممکن می سازد. به عنوان مثال، شما باید پیدا کنید V، زمانی که مقادیر داده می شوند: الف، ج، الف. یا ناشناخته با، اما معانی دارد الف، ب، الف.
در این شرایط، باید تمام عبارت های فرمول را به سمت چپ منتقل کنید. برابری زیر را دریافت می کنید:
с 2 - 2 * در * س * cos А + در 2 - а 2 = 0.
بیایید آن را به شکل کمی متفاوت بازنویسی کنیم:
c 2 - (2 * در * cos A) * c + (در 2 - a 2) = 0.
شما به راحتی می توانید معادله درجه دوم را ببینید. مقدار نامعلومی در آن وجود دارد - با، و بقیه داده می شود. بنابراین، حل آن با استفاده از ممیز کافی است. به این ترتیب طرف ناشناخته پیدا می شود.
فرمول ضلع دوم به طور مشابه به دست می آید:
در 2 - (2 * c * cos A) * در + (c 2 - a 2) = 0.
از دیگر عبارات، چنین فرمول هایی نیز به راحتی به دست می آیند.
اگر به فرمول کسینوس زاویه ای که قبلاً به دست آمده بود دقت کنید، متوجه موارد زیر خواهید شد:
زاویه A خواهد بود:
به هر حال، وضعیت اخیر قضیه کسینوس را به قضیه فیثاغورث تبدیل می کند. زیرا برای زاویه 90 درجه کسینوس آن صفر است و جمله آخر ناپدید می شود.
وضعیت
زاویه منفرد یک مثلث دلخواه 120 درجه است. در مورد ضلع هایی که به آنها محدود می شود معلوم است که یکی از آنها 8 سانتی متر بزرگتر از دیگری است طول ضلع سوم معلوم است 28 سانتی متر است باید محیط مثلث را پیدا کرد.
راه حل
ابتدا باید یکی از اضلاع را با حرف "x" علامت گذاری کنید. در این صورت، دیگری برابر با (x + 8) خواهد بود. از آنجایی که عباراتی برای هر سه ضلع وجود دارد، می توانیم از فرمول ارائه شده توسط قضیه کسینوس استفاده کنیم:
28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.
در جداول کسینوس باید مقدار مربوط به 120 درجه را پیدا کنید. این عدد 0.5 با علامت منفی خواهد بود. اکنون باید پرانتزها را با رعایت تمام قوانین باز کنید و اصطلاحات مشابه را بیاورید:
784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0.5) * (x + 8)؛
784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x.
3x 2 + 24x - 720 = 0.
این معادله درجه دوم با پیدا کردن ممیز حل می شود که برابر با:
D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.
از آنجایی که مقدار آن بزرگتر از صفر است، معادله دو پاسخ ریشه دارد.
x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;
x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.
ریشه آخر نمی تواند پاسخگوی مشکل باشد، زیرا طرف باید مثبت باشد.
قضیه کسینوس چیست؟ این را تصور کنید... قضیه فیثاغورث برای یک مثلث دلخواه.
قضیه کسینوس می گوید:مربع هر ضلع مثلث برابر است با مجموع مربع های دو ضلع دیگر مثلث منهای دو برابر حاصلضرب این ضلع ها و کسینوس زاویه بین آنها.
و اکنون توضیح خواهم داد که چرا چنین است و قضیه فیثاغورث چه ارتباطی با آن دارد.
بالاخره قضیه فیثاغورث چه می گوید؟
اگر مثلاً تند باشد چه اتفاقی می‌افتد؟
اگه احمق باشم چی؟
اکنون خواهیم فهمید، یا بهتر است بگوییم، ابتدا آن را فرموله می کنیم و سپس آن را ثابت می کنیم.
بنابراین، برای هر مثلث (حاد-زاویه، کج-زاویه و حتی مستطیل!) موارد زیر صادق است: قضیه کسینوس
چیست و؟
را می توان از یک مثلث (مستطیل شکل!) بیان کرد.
و اینجاست (از دوباره).
بیایید جایگزین کنیم:
ما آشکار می کنیم:
ما از داشته هایمان استفاده می کنیم و... همین!
بنابراین، یعنی احمق.
و حالا، توجه، تفاوت!
این از، که اکنون در خارج است، و
ما آن را به یاد می آوریم
(اگر کاملا فراموش کرده اید که چرا اینطور است، موضوع را بخوانید).
بنابراین، همین! تفاوت تمام شد!
همانطور که بود، یعنی:
خوب، آخرین مورد باقی مانده است.
بنابراین، . اما پس از آن قضیه کسینوس به سادگی به قضیه فیثاغورث تبدیل می شود:
قضیه کسینوس در چه مسائلی مفید است؟
خوب، برای مثال، اگر دارید با توجه به دو ضلع مثلث و زاویه بین آنها، سپس شما بلافاصله آیا می توانید شخص ثالثی را پیدا کنید.
یا اگر شما هر سه طرف داده شده است، سپس بلافاصله آن را پیدا خواهید کرد کسینوسهر زاویه مطابق فرمول
و حتی اگر شما با توجه به دو ضلع و زاویه ای که بین آنها وجود ندارد، سپس ضلع سوم را نیز می توان با حل یک معادله درجه دوم پیدا کرد. درست است، در این مورد، گاهی اوقات شما دو پاسخ دریافت می کنید و باید بفهمید که کدام یک را انتخاب کنید، یا هر دو را رها کنید.
سعی کنید از آن استفاده کنید و نترسید - استفاده از قضیه کسینوس تقریباً به آسانی قضیه فیثاغورث است.
قضیه کسینوس:مربع یک ضلع مثلث برابر است با مجموع مربع های دو ضلع دیگر منهای دو برابر حاصلضرب این ضلع ها و کسینوس زاویه بین آنها:
خب موضوع تموم شد اگر این خطوط را می خوانید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.
زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!
حالا مهمترین چیز.
شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.
مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...
برای چی؟
برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی یکپارچه، برای ورود به دانشگاه با بودجه و مهمتر از همه، مادام العمر.
من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...
افرادی که تحصیلات خوبی دریافت کرده اند بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.
اما این موضوع اصلی نیست.
نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بیشتری پیش روی آنها باز می شود و زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...
اما خودت فکر کن...
چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟
با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.
در طول امتحان از شما تئوری سوال نمی شود.
شما نیاز خواهید داشت حل مشکلات در برابر زمان.
و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.
مانند ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.
مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل ها، تجزیه و تحلیل دقیقو تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!
شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.
برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.
چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:
بله، ما 99 مقاله از این قبیل در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها بلافاصله باز می شود.
دسترسی به تمام کارهای پنهان برای کل عمر سایت فراهم شده است.
در نتیجه...
اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.
"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.
مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!
در یک نقطه متمرکز شده است آ.
α
- زاویه بیان شده در رادیان.
تعریف
سینوس (sin α)تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مقابل | BC| به طول هیپوتنوز |AC|.
کسینوس (cos α)تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مجاور |AB| به طول هیپوتنوز |AC|.
;
;
.
;
;
.
توابع y = گناه xو y = cos xدوره ای با دوره 2π.
تابع سینوس فرد است. تابع کسینوس زوج است.
توابع سینوس و کسینوس در دامنه تعریف خود، یعنی برای همه x پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی آنها در جدول (n - عدد صحیح) ارائه شده است.
| y = گناه x | y = cos x | |
| دامنه و تداوم | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| محدوده ارزش ها | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| در حال افزایش است | ||
| نزولی | ||
| ماکسیما، y = 1 | ||
| حداقل، y = - 1 | ||
| صفر، y = 0 | ||
| نقاط قطع را با محور مختصات، x = 0 | y = 0 | y = 1 |
;
;
;
;
;
.
;
;
;
.
; .
وقتی، داریم:
;
.
در:
;
.
این جدول مقادیر سینوس ها و کسینوس ها را برای مقادیر معینی از آرگومان نشان می دهد. 
;
;
;
; . استخراج فرمول ها > > >
مشتقات مرتبه n:
{ -∞ <
x < +∞ }
توابع معکوس سینوس و کسینوس به ترتیب آرکسین و آرکوزین هستند.
منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.
