قانون کولن و اصل برهم نهی، توصیف کامل میدان الکترواستاتیک یک سیستم بارهای معین در خلاء را ممکن می‌سازد. با این حال، ویژگی‌های میدان الکترواستاتیک را می‌توان به شکل کلی‌تر دیگری، بدون توسل به ایده میدان کولن بار نقطه‌ای بیان کرد.

اجازه دهید کمیت فیزیکی جدیدی را معرفی کنیم که میدان الکتریکی را مشخص می کند - شار Φ بردار کشش میدان الکتریکی. اجازه دهید در فضایی که میدان الکتریکی در آن ایجاد می شود، یک منطقه به اندازه کافی کوچک Δ وجود داشته باشد اس. حاصل ضرب مدول برداری و مساحت Δ اسو کسینوس زاویه α بین بردار و نرمال به محل نامیده می شود جریان اولیه بردار کشش از طریق سکوی Δ اس(شکل 1.3.1):

اکنون اجازه دهید برخی از سطوح بسته دلخواه را در نظر بگیریم اس. اگر این سطح را به مناطق کوچک Δ تقسیم کنیم اسمن، جریان های ابتدایی ΔΦ را تعیین کنید مناز میان این نواحی کوچک می گذرد، و سپس آنها را جمع می کنیم، سپس در نتیجه جریان Φ بردار را در سطح بسته به دست می آوریم. اس(شکل 1.3.2):

در مورد سطح بسته، همیشه انتخاب کنید نرمال بیرونی .

قضیه گاوس می گوید:

جریان بردار قدرت میدان الکترواستاتیکاز طریق یک سطح بسته دلخواه برابر است با مجموع جبری بارهای واقع در داخل این سطح، تقسیم بر ثابت الکتریکی ε 0 .

برای اثبات این موضوع ابتدا یک سطح کروی را در نظر بگیرید اس، که در مرکز آن یک شارژ نقطه ای وجود دارد q. میدان الکتریکی در هر نقطه از کره عمود بر سطح آن و از نظر قدر برابر است

جایی که آر- شعاع کره شار Φ از طریق یک سطح کروی برابر با محصول خواهد بود Eدر هر سطح کره 4π آر 2. از این رو،

اکنون اجازه دهید بار نقطه ای را با یک سطح بسته دلخواه احاطه کنیم اسو یک کره کمکی با شعاع در نظر بگیرید آر 0 (شکل 1.3.3).

مخروطی را با کوچک در نظر بگیرید زاویه جامد ΔΩ در بالا. این مخروط ناحیه کوچک Δ روی کره را برجسته می کند اس 0 و در سطح اس– پد Δ اس. جریان های ابتدایی ΔΦ 0 و ΔΦ از طریق این مناطق یکسان هستند. واقعا،

ΔΦ 0 = E 0 Δ اس 0 , ΔΦ = EΔ اس cos α = EΔ اس ‘ .

اینجا Δ S' = Δ اس cos α - مساحتی که توسط یک مخروط با زاویه جامد ΔΩ بر روی سطح یک کره با شعاع اختصاص داده شده است. n.

از آنجا که، a، بنابراین نتیجه می شود که شار کل میدان الکتریکی یک بار نقطه ای از طریق یک سطح دلخواه که بار را می پوشاند برابر با شار Φ 0 در سطح کره کمکی است:

به روشی مشابه می توان نشان داد که اگر یک سطح بسته اسشارژ نقطه ای را پوشش نمی دهد q، سپس جریان Φ = 0. چنین موردی در شکل نشان داده شده است. 1.3.2. تمام خطوط میدان الکتریکی یک بار نقطه ای در یک سطح بسته نفوذ می کنند اساز طریق. داخل سطح اسهیچ هزینه ای وجود ندارد، بنابراین در این منطقه خطوط میدان قطع نمی شود یا ایجاد نمی شود.

تعمیم قضیه گاوس به مورد توزیع بار دلخواه از اصل برهم نهی ناشی می شود. میدان هر توزیع بار را می توان به صورت مجموع برداری از میدان های الکتریکی بارهای نقطه ای نشان داد. جریان Φ یک سیستم بارها از طریق یک سطح بسته دلخواه اساز جریان های Φ تشکیل خواهد شد منمیدان های الکتریکی بارهای فردی اگر شارژ qمنبه داخل سطح ختم شد اس، آنگاه سهمی در جریان می دهد که اگر این بار خارج از سطح باشد، سهم میدان الکتریکی آن در جریان برابر با صفر خواهد بود.

بنابراین، قضیه گاوس ثابت می شود.

قضیه گاوس نتیجه قانون کولن و اصل برهم نهی است. اما اگر گزاره مندرج در این قضیه را بدیهی اصلی بگیریم، نتیجه آن قانون کولن خواهد بود. بنابراین، قضیه گاوس را گاهی فرمول بندی جایگزین قانون کولن می نامند.

با استفاده از قضیه گاوس، در برخی موارد می توان به راحتی قدرت میدان الکتریکی را در اطراف جسم باردار محاسبه کرد، اگر توزیع بار داده شده دارای تقارن باشد و ساختار کلی میدان را بتوان از قبل حدس زد.

یک مثال مشکل محاسبه میدان یک استوانه بلند توخالی جدار نازک با شعاع یکنواخت است. آر. این مشکل تقارن محوری دارد. به دلایل تقارن، میدان الکتریکی باید در امتداد شعاع هدایت شود. بنابراین، برای اعمال قضیه گاوس، بهتر است سطح بسته را انتخاب کنید اسبه شکل یک استوانه کواکسیال با شعاع خاصی rو طول ل، در دو انتها بسته شده است (شکل 1.3.4).

در r ≥ آرکل جریان بردار کشش از سطح جانبی استوانه عبور می کند که مساحت آن برابر با 2π است. rl، از آنجایی که شار از هر دو پایه صفر است. استفاده از قضیه گاوس به دست می دهد:

این نتیجه به شعاع بستگی ندارد آرسیلندر شارژ شده، بنابراین در زمینه یک نخ بلند و یکنواخت شارژ شده نیز کاربرد دارد.

برای تعیین قدرت میدان داخل یک استوانه باردار، لازم است یک سطح بسته برای کیس ساخته شود r < آر. با توجه به تقارن مسئله، شار بردار شدت از طریق سطح جانبی استوانه گاوسی نیز باید در این مورد برابر با Φ = باشد. E 2π rl. طبق قضیه گاوس، این جریان متناسب با بار محبوس شده در داخل سطح بسته است. این شارژ صفر است. نتیجه این است که میدان الکتریکی درون یک استوانه توخالی طولانی با بار یکنواخت صفر است.

به روشی مشابه، می توان قضیه گاوس را برای تعیین میدان الکتریکی در تعدادی از موارد دیگر که توزیع بارها نوعی تقارن دارد، به عنوان مثال، تقارن حول مرکز، صفحه یا محور اعمال کرد. در هر یک از این موارد، لازم است یک سطح گاوسی بسته با شکل مناسب انتخاب شود. به عنوان مثال، در مورد تقارن مرکزی، انتخاب یک سطح گاوسی به شکل یک کره با مرکز در نقطه تقارن راحت است. با تقارن محوری، سطح بسته باید به شکل یک استوانه کواکسیال انتخاب شود که در هر دو انتها بسته است (مانند مثالی که در بالا بحث شد). اگر توزیع بارها هیچ تقارنی نداشته باشد و ساختار کلی میدان الکتریکی را نتوان حدس زد، اعمال قضیه گاوس نمی تواند مسئله تعیین شدت میدان را ساده کند.

بیایید مثال دیگری از توزیع بار متقارن - تعیین میدان یک صفحه باردار یکنواخت را در نظر بگیریم (شکل 1.3.5).

در این مورد، سطح گاوسی استوصیه می شود آن را به شکل یک استوانه با طولی انتخاب کنید که در هر دو انتها بسته است. محور استوانه به صورت عمود بر صفحه باردار هدایت می شود و انتهای آن در همان فاصله از آن قرار دارند. به دلیل تقارن، میدان یک هواپیمای باردار یکنواخت باید در امتداد حالت عادی در همه جا هدایت شود. استفاده از قضیه گاوس به دست می دهد:

جایی که σ – چگالی بار سطحی ، یعنی شارژ در واحد سطح.

بیان حاصل برای میدان الکتریکی یک صفحه باردار یکنواخت در مورد مناطق باردار مسطح با اندازه محدود نیز قابل استفاده است. در این حالت، فاصله از نقطه ای که در آن شدت میدان تعیین می شود تا ناحیه باردار باید به طور قابل توجهی کمتر از اندازه منطقه باشد.

میدان الکترواستاتیک نوع خاصی از ماده است که اجسام باردار از طریق آن برهم کنش می کنند.

قانون کولمب:قدرت تعامل افبین دو بار نقطه ثابت q 1 و q 2 با بزرگی این بارها نسبت مستقیم و با مجذور فاصله نسبت معکوس دارد. rبین آنها:

جایی که ( ه 0 - ثابت الکتریکی)؛

ه- ثابت دی الکتریک محیط، نشان می دهد که چند برابر نیروی برهمکنش بارها در یک محیط معین کمتر از خلاء است.

میدان های الکتریکی که توسط بارهای الکتریکی ساکن ایجاد می شوند نامیده می شوند الکترواستاتیک.

قدرت میدان الکترواستاتیکدر یک نقطه مشخص، یک کمیت فیزیکی با نیروی وارد بر بار مثبت نقطه آزمایش تعیین می شود q 0 در این نقطه از فیلد قرار می گیرد، یعنی:

میدان الکترواستاتیک را می توان به صورت گرافیکی با استفاده از نمایش داد خطوط برق.خط قدرت -این خطی است که مماس آن در هر نقطه در جهت با بردار شدت میدان الکترواستاتیک در یک نقطه معین منطبق است (شکل 1 و 2).

اگر میدان توسط بار نقطه ای ایجاد شود، خطوط میدان خطوط مستقیم شعاعی هستند که از بار مثبت بیرون می آیند (شکل 2، آو در بار منفی گنجانده شده است (شکل 2، ب).

برنج. 1 شکل 2

با کمک خطوط میدان، می توان نه تنها جهت، بلکه میزان قدرت میدان الکترواستاتیک را نیز مشخص کرد و آن را به چگالی خطوط میدان مرتبط کرد. چگالی بیشتر خطوط میدان مربوط به مقدار کشش بیشتر است (شکل 1 و 2). از نظر کمی، تعداد خطوط نیرویی که در یک ناحیه منفرد که عمود بر خطوط نیرو قرار دارد، با بزرگی قدرت میدان الکترواستاتیکی همبستگی دارد. در این مورد، یک اتهام خاص q، ایجاد فیلد، مربوط به عدد خاصی است نخطوط نیروی خروج (برای) بار یا ورود (برای) بار، یعنی: .

جریان بردار قدرت میدان الکترواستاتیکاز طریق یک پلت فرم دلخواه اسبا تعداد خطوط نیرویی که در یک منطقه معین نفوذ می کنند مشخص می شود اس.

اگر سایت اسعمود بر خطوط نیرو (شکل 3)، سپس جریان F Eبردار تنش از طریق این ناحیه اس: .

برنج. 3 شکل 4

برنج. 3

اگر سایت اسعمود بر خطوط نیروی میدان الکترواستاتیک نیست (شکل 4)، سپس بردار از این ناحیه عبور می کند. اس:

,

جایی که α – زاویه بین بردارهای کشش و نرمال به محل اس.

برای یافتن جریان F Eبردار کشش از طریق یک سطح دلخواه اس، لازم است این سطح را به مناطق ابتدایی تقسیم کرد dS(شکل 5)، جریان ابتدایی را تعریف کنید dФ Eاز طریق هر پلت فرم dSطبق فرمول:

,

و سپس تمام این جریان های ابتدایی dФ Eافزودن، که منجر به ادغام می شود:

,

جایی که α - زاویه بین بردارهای کشش و نرمال به یک ناحیه ابتدایی معین dS.

اگر وکتور (شکل 5) را به عنوان بردار با اندازه مساحت سایت وارد کنید dSو در امتداد بردار معمولی به سمت سایت هدایت می شود dS، سپس مقدار ، جایی که آ -زاویه بین بردارها و را می توان به صورت حاصل ضرب اسکالر بردارها و، یعنی به عنوان، نوشت و رابطه حاصل برای جریان برداری به شکل زیر است:

.

قضیه Ostrogradsky-Gauss برای میدان الکترواستاتیک.

قضیه اوستروگرادسکی-گاوس برای میدان الکترواستاتیک، بزرگی شار را به هم مرتبط می کند. F Eبردار قدرت میدان الکترواستاتیک در خلاءاز طریق یک سطح بسته دلخواه اسبا مبلغ شارژ qمحصور در داخل یک سطح بسته معین اس(شکل 6).

برنج. 6

از آنجایی که تمام خطوط نیرویی که از بار (برای ) خارج می شوند یا وارد بار (برای ) می شوند، به یک سطح بسته دلخواه نفوذ می کنند. اس، این شارژ را پوشش می دهد (شکل 6)، سپس مقدار جریان F Eبردار از طریق این سطح اسبا تعداد مشخص خواهد شد نخطوط نیرویی که از شارژ خارج می شوند (برای ) یا وارد شارژ (برای):

.

این نسبت است قضیه Ostrogradsky-Gaussبرای میدان الکترواستاتیک

از آنجایی که اگر خطوط نیرو از سطح خارج شوند، شار مثبت در نظر گرفته می شود اس، و برای خطوط موجود در سطح منفی است اس،سپس اگر داخل یک سطح بسته دلخواه باشد اسیکی نیست، بلکه چندین است ( n) بارهای مخالف، پس قضیه Ostrogradsky-Gaussبرای میدان الکترواستاتیک به صورت زیر فرموله می شود:

جریان بردار قدرت میدان الکترواستاتیک در خلاءاز طریق یک سطح بسته دلخواه برابر است با مجموع جبری بارهای موجود در این سطح، تقسیم بر e 0:

.

مبحث 2. کار نیروهای میدان الکترواستاتیک. پتانسیل

اگر در یک میدان الکترواستاتیک ایجاد شده توسط یک بار نقطه ای q، بار آزمایشی دیگری حرکت می کند q 0 از نقطه 1 دقیقا 2 در امتداد یک مسیر دلخواه (شکل 7) , سپس کار نیروهای میدان الکترواستاتیک انجام می شود.

کار ابتدایی dAنیروی وارد بر جابجایی اولیه برابر است با: .

از شکل 7 مشخص است که .

سپس ().

کار آهنگام جابجایی شارژ q 0 در طول مسیر از نقطه 1 به نقطه 2 :

یعنی هنگام جابجایی شارژ از یک نقطه کار کنید 1 V

نقطه 2 در یک میدان الکترواستاتیک به مسیر حرکت بستگی ندارد، بلکه تنها با موقعیت نقطه شروع و پایان تعیین می شود. از همین رو میدان الکترواستاتیکشارژ نقطه ای است پتانسیل.

کاری که توسط نیروهای میدان الکترواستاتیکی هنگام حرکت بار انجام می شود q 0 از نقطه 1 دقیقا 2 ، به صورت زیر بیان می شود:

,

جایی که φ 1و φ 2 – پتانسیل میدان الکترواستاتیکدر نقاط 1 و 2 .

پتانسیل میدان الکترواستاتیک تا یک ثابت افزودنی دلخواه تعیین می شود بایعنی برای میدان شارژ نقطه ای q:

.

سپس , .

اختلاف پتانسیلدو نقطه 1 و 2 در یک میدان الکترواستاتیک با کار انجام شده توسط نیروهای میدان الکترواستاتیک هنگام جابجایی بار نقطه آزمایش تعیین می شود q 0 از نقطه 1 دقیقا 2 :

.

رابطه بین قدرت میدان الکترواستاتیک و پتانسیل

تنش و پتانسیل φ میدان های الکترواستاتیک به صورت زیر به هم متصل می شوند:

= – درجه φ

یا ، جایی که

- بردارهای واحد محورهای مختصات اوه,اوه, اوز، به ترتیب.

علامت منفی در فرمول فوق به این معنی است که بردار شدت میدان الکترواستاتیکی به سمت جهت است سمت حداکثر کاهشپتانسیل j.

برای به تصویر کشیدن گرافیکی توزیع پتانسیل میدان الکترواستاتیک، ما استفاده می کنیم سطوح هم پتانسیل،یعنی سطوحی در تمام نقاطی که پتانسیل آنها وجود دارد jهمین معنی را دارد.

به عنوان مثال، برای یک میدان ایجاد شده توسط شارژ نقطه ای q، پتانسیل jبا عبارت: تعیین می شود، و سطوح هم پتانسیل، کره های متحدالمرکز هستند (شکل 8).

از این شکل مشخص می شود که در مورد شارژ نقطه ای، خطوط میدان (خطوط چین دار در شکل) طبیعی(عمود) به سطوح هم پتانسیل (خطوط جامد در شکل).

این ملک طبیعیموقعیت نسبی خطوط نیرو و سطوح هم پتانسیل میدان الکترواستاتیک در همه موارد میدان الکترواستاتیک مشترک است.

بنابراین، با دانستن موقعیت خطوط نیروی میدان الکترواستاتیک، می توان سطوح هم پتانسیل این میدان الکترواستاتیک را ساخت و بالعکس، بر اساس مکان شناخته شده سطوح هم پتانسیل میدان الکترواستاتیک، ساخت خطوط نیروی میدان الکترواستاتیک

یک میدان مغناطیسی

مبحث 3. میدان مغناطیسی. قانون بیوت-ساوارت-لاپلاس

جریان الکتریکی میدانی ایجاد می کند که روی یک سوزن مغناطیسی اثر می گذارد. جهت گیری فلش مماس بر دایره ای است که در صفحه ای عمود بر هادی حامل جریان قرار دارد (شکل 9).

مشخصه اصلی میدان مغناطیسی القای برداری است. پذیرفته شده است که بردار القای میدان مغناطیسی به سمت قطب شمال سوزن مغناطیسی قرار گرفته در یک نقطه معین از میدان هدایت می شود (شکل 9).

با قیاس با میدان الکتریکی، میدان مغناطیسی را می توان به صورت گرافیکی نیز با استفاده از نمایش داد خطوط برق (خطوط میدان مغناطیسی).

خط قدرت- این خطی است که مماس آن در هر نقطه در جهت با بردار القای میدان مغناطیسی منطبق است. خطوط میدان مغناطیسی، بر خلاف خطوط میدان الکترواستاتیک، هادی های حامل جریان بسته و اطراف هستند. جهت خطوط برق با قانون پیچ سمت راست (قانون گیملت) تعیین می شود: سر پیچ که در جهت جریان به داخل پیچ می شود، در جهت خطوط می چرخد ​​شکل. 9

القای مغناطیسی (شکل 9).

برای چندین منبع میدان مغناطیسی، با توجه به اصل برهم نهی میدان های مغناطیسی، القای میدان مغناطیسی حاصل برابر است با مجموع برداری از القاء همه میدان های مغناطیسی منفرد:

بردار القایی میدان مغناطیسی ایجاد شده توسط یک هادی حامل جریان را می توان با استفاده از آن تعیین کرد قانون بیوت-ساوارت-لاپلاس.در عین حال باید این را نیز در نظر گرفت قانون بیوت-ساوارت-لاپلاسبه شما این امکان را می دهد که بزرگی و جهت فقط بردار القایی میدان مغناطیسی ایجاد شده توسط عنصر هادی حامل جریان را پیدا کنید. بنابراین، برای تعیین بردار القای میدان مغناطیسی ایجاد شده توسط یک هادی حامل جریان، لازم است ابتدا این هادی را به عناصر هادی تقسیم کنیم، برای هر عنصر با استفاده از قانون بیو ساوارت لاپلاسبردار القایی را پیدا کنید و سپس با استفاده از اصل برهم نهی میدان های مغناطیسی، تمام بردارهای القایی پیدا شده را به صورت برداری اضافه کنید.

محاسبه قدرت میدان یک سیستم بارهای الکتریکی با استفاده از اصل برهم نهی میدان های الکترواستاتیکی را می توان با استفاده از قضیه به دست آمده توسط دانشمند آلمانی K. Gauss (1777-1855)، که جریان بردار شدت میدان الکتریکی را تعیین می کند، به طور قابل توجهی ساده کرد. از طریق یک سطح بسته دلخواه

مطابق با فرمول (79.3)، جریان بردار شدت از طریق یک سطح کروی به شعاع r، پوشش بار نقطه ای س،واقع در مرکز آن (شکل 124)، برابر است با

این نتیجه برای یک سطح بسته با هر شکلی معتبر است. در واقع، اگر یک کره (شکل 124) را با یک سطح بسته دلخواه احاطه کنید، هر خط کششی که به کره نفوذ می کند نیز از این سطح عبور می کند.

اگر یک سطح بسته با شکل دلخواه باری را محصور کند (شکل 125)، آنگاه هنگامی که هر خط کششی انتخابی با سطح قطع می شود، یا وارد آن می شود یا از آن خارج می شود. تعداد فرد از تقاطع ها هنگام محاسبه شار در نهایت به یک تقاطع کاهش می یابد، زیرا شار برای خطوط تنش که از سطح خارج می شوند مثبت و برای خطوط ورودی به سطح منفی در نظر گرفته می شود. اگر یک سطح بسته باری را محصور نکند، شار عبوری از آن صفر است، زیرا تعداد خطوط کششی وارد شده به سطح برابر است با تعداد خطوط کششی که از آن خارج می شوند.

برنج. 124 شکل. 125

بنابراین، برای یک سطح با هر شکل، اگر بسته باشد و حاوی بار نقطه ای باشد س،شار بردار E برابر خواهد بود Q/ε 0، یعنی

(81.1)

علامت جریان با علامت شارژ منطبق است س

اجازه دهید حالت کلی یک سطح دلخواه را در اطراف n بار در نظر بگیریم. مطابق با اصل برهم نهی (80.2)، شدت میدان E ایجاد شده توسط همه بارها برابر است با مجموع شدت میدان E ایجاد شده توسط هر بار به طور جداگانه: . از همین رو

مطابق (81.1) هر یک از انتگرال های زیر علامت جمع برابر است با Qi/ε0.از این رو،

(81.2)

فرمول (81.2) بیان می کند قضیه گاوس برای میدان الکترواستاتیک در خلاء:جریان بردار قدرت میدان الکترواستاتیک در خلاءاز طریق یک سطح بسته دلخواه برابر است با مجموع جبری بارهای موجود در این سطح، تقسیم بر ε 0 . این قضیه توسط ریاضیدان روسی M. V. Ostrogradsky (1801-1862) و سپس به طور مستقل از او در رابطه با میدان الکترواستاتیک - توسط K. Gauss - برای یک میدان برداری با هر ماهیت به صورت ریاضی استخراج شد.

اگر قضیه کشف شده توسط دانشمند آلمانی K. Gauss (1777-1855) را به کار ببریم، کار محاسبه قدرت میدان یک سیستم بارهای الکتریکی با استفاده از اصل برهم نهی میدان های الکترواستاتیکی را می توان بسیار ساده کرد. بردار شدت میدان الکتریکی از طریق یک سطح بسته دلخواه.

از تعریف شار بردار شدت از طریق یک سطح بسته، شار بردار شدت از طریق یک سطح کروی با شعاع r که یک بار نقطه‌ای Q واقع در مرکز آن را می‌پوشاند (شکل 1) برابر است با

این نتیجه برای یک سطح بسته با شکل دلخواه معتبر است. در واقع، اگر یک کره (شکل 1) را در یک سطح بسته دلخواه محصور کنید، هر خط کششی که به کره نفوذ می کند نیز از این سطح عبور می کند.

اگر یک سطح بسته به هر شکلی باری را محصور کند (شکل 2)، آنگاه وقتی هر خط کششی با سطح قطع می شود، یا وارد آن می شود یا از آن خارج می شود. هنگام محاسبه شار، تعداد فرد از تقاطع ها در نهایت به یک تقاطع کاهش می یابد، زیرا اگر خطوط کشش سطح را ترک کنند، شار مثبت و برای خطوطی که وارد سطح می شوند منفی فرض می شود. اگر یک سطح بسته باری را در بر نگیرد. ، سپس شار عبوری از آن صفر است، بنابراین چگونه تعداد خطوط کششی که وارد سطح می شوند برابر است با تعداد خطوط کششی که از آن خارج می شوند.

این بدان معنی است که برای سطحی با شکل دلخواه، اگر بسته باشد و دارای بار نقطه ای Q باشد، جریان بردار Eبرابر Q/ε 0 خواهد بود، یعنی.

علامت شار با علامت بار Q منطبق است.

اجازه دهید حالت کلی یک سطح دلخواه اطراف n بار را مطالعه کنیم. با استفاده از اصل برهم نهی، کشش Eمیدانی که توسط همه بارها ایجاد می شود، برابر است با مجموع شدت ها E iفیلدهایی که توسط هر شارژ به طور جداگانه ایجاد می شوند. از همین رو

مطابق (1) هر یک از انتگرال هایی که در زیر علامت جمع ظاهر می شوند برابر است با Q i /ε 0 . به معنای،

(2)

فرمول (2) بیان می کند قضیه گاوس برای میدان الکترواستاتیک در خلاء: جریان بردار شدت میدان الکترواستاتیک در خلاء از طریق یک سطح بسته دلخواه برابر است با مجموع جبری بارهای موجود در داخل این سطح تقسیم بر ε 0. این قضیه توسط ریاضیدان روسی M.V. Ostrogradsky (1801-1862) و سپس مستقل از او در رابطه با میدان الکترواستاتیک - توسط K. Gauss به صورت ریاضی برای یک میدان برداری با ماهیت دلخواه به دست آمد.

در حالت کلی، بارهای الکتریکی را می توان با چگالی حجمی مشخص ρ=dQ/dV توزیع کرد که در مکان های مختلف فضا متفاوت است. سپس بار کل موجود در داخل سطح بسته S که حجم مشخصی V را پوشش می دهد،

(3)

با استفاده از فرمول (3)، قضیه گاوس (2) را می توان به صورت زیر نوشت:

گردش بردار ولتاژ کاری است که توسط نیروهای الکتریکی هنگام حرکت یک بار مثبت منفرد در طول یک مسیر بسته L انجام می شود.

(13.18)

از آنجایی که کار نیروهای میدان الکترواستاتیک در امتداد یک حلقه بسته صفر است (کار نیروهای میدان بالقوه)، بنابراین گردش قدرت میدان الکترواستاتیک در طول یک حلقه بسته صفر است.

پتانسیل میدان الکترواستاتیکمیدان یک نیروی محافظه کار را می توان نه تنها با یک تابع برداری توصیف کرد، بلکه می توان با تعریف یک کمیت اسکالر مناسب در هر یک از نقاط آن، توصیفی معادل از این میدان به دست آورد. برای یک میدان الکترواستاتیک، این کمیت است پتانسیل میدان الکترواستاتیک، به عنوان نسبت انرژی پتانسیل بار آزمایشی تعریف می شود qبه بزرگی این بار،  = دبلیوپ / q، که از آن نتیجه می شود که پتانسیل از نظر عددی برابر با انرژی پتانسیل است که یک واحد بار مثبت در یک نقطه معین از میدان در اختیار دارد. واحد اندازه گیری پتانسیل ولت (1 ولت) است.

پتانسیل میدان شارژ نقطه ای سدر محیط ایزوتروپیک همگن با ثابت دی الکتریک :

اصل برهم نهیپتانسیل یک تابع اسکالر است، اصل برهم نهی برای آن معتبر است. بنابراین برای پتانسیل میدانی یک سیستم بارهای نقطه ای س 1, س 2، Q nما داریم

,

جایی که r i- فاصله از نقطه میدان با پتانسیل  تا بار چی. اگر شارژ به طور خودسرانه در فضا توزیع شود، پس

,

جایی که r- فاصله از حجم ابتدایی د ایکس، د y، د zاشاره کردن ( ایکس, y, z) جایی که پتانسیل تعیین می شود. V- حجم فضایی که بار در آن توزیع می شود.

پتانسیل و کار نیروهای میدان الکتریکی.بر اساس تعریف پتانسیل، می توان نشان داد که کار انجام شده توسط میدان الکتریکی هنگام جابجایی یک بار نقطه ای، نیرو می گیرد qاز یک نقطه از میدان به نقطه دیگر برابر است با حاصل ضرب بزرگی این بار و اختلاف پتانسیل در نقاط اولیه و نهایی مسیر، A = q (     
اگر بر حسب قیاس با انرژی پتانسیل، فرض کنیم که در نقاط بی نهایت دور از بارهای الکتریکی - منابع میدان، پتانسیل صفر است، پس کار نیروهای میدان الکتریکی هنگام حرکت یک بار qاز نقطه 1 تا بی نهایت را می توان به صورت آ   q  1 .
بنابراین، پتانسیل در یک نقطه معین از میدان الکترواستاتیک است مقدار فیزیکی از نظر عددی برابر با کار نیروهای میدان الکتریکی در هنگام حرکت یک واحد بار نقطه مثبت از یک نقطه معین در میدان به نقطه ای بی نهایت دور است.:  = آ  / q.
در برخی موارد، پتانسیل میدان الکتریکی با وضوح بیشتری به صورت تعریف شده است یک کمیت فیزیکی از نظر عددی برابر با کار نیروهای خارجی در برابر نیروهای میدان الکتریکی هنگام حرکت یک واحد بار نقطه مثبت از بینهایت به یک نقطه معین. نوشتن آخرین تعریف به صورت زیر راحت است:

در علم و فناوری مدرن، به ویژه هنگام توصیف پدیده هایی که در عالم صغیر رخ می دهند، واحدی از کار و انرژی به نام الکترون ولت(eV). این کاری است که هنگام حرکت یک بار برابر با بار یک الکترون بین دو نقطه با اختلاف پتانسیل 1 V انجام می شود: 1 eV = 1.6010  C1 V = 1.6010  J

سطوح هم پتانسیل- مفهومی قابل اجرا برای هر میدان برداری بالقوه، به عنوان مثال، یک میدان الکتریکی ساکن یا یک میدان گرانشی نیوتنی. سطح هم پتانسیل سطحی است که پتانسیل اسکالر میدان پتانسیل معین روی آن مقدار ثابتی می گیرد (سطح سطح پتانسیل). تعریف دیگر، معادل، سطحی است که در هر نقطه با خطوط میدان متعامد است.

سطح یک هادی در الکترواستاتیک یک سطح هم پتانسیل است. علاوه بر این، قرار دادن یک هادی بر روی یک سطح هم پتانسیل، پیکربندی میدان الکترواستاتیک را تغییر نمی‌دهد. این واقعیت در روش تصویر استفاده می شود که امکان محاسبه میدان الکترواستاتیک را برای پیکربندی های پیچیده فراهم می کند.

در یک میدان گرانشی (ایستا)، سطح یک سیال ساکن در امتداد سطح هم پتانسیل برقرار می شود. به طور خاص، تقریباً می توان بیان کرد که سطح اقیانوس ها از امتداد سطح هم پتانسیل میدان گرانشی زمین می گذرد. شکل سطح اقیانوس ها که تا سطح زمین امتداد یافته است، ژئوئید نامیده می شود و نقش مهمی در ژئودزی دارد. بنابراین ژئوئید یک سطح هم پتانسیل گرانش است که از یک جزء گرانشی و یک جزء گریز از مرکز تشکیل شده است.

محاسبه قدرت میدان یک سیستم بارهای الکتریکی با استفاده از اصل برهم نهی میدان های الکترواستاتیکی را می توان با استفاده از قضیه به دست آمده توسط دانشمند آلمانی K. Gauss (1777-1855)، که جریان بردار شدت میدان الکتریکی را تعیین می کند، به طور قابل توجهی ساده کرد. از طریق یک سطح بسته دلخواه

مطابق با فرمول (79.3)، جریان بردار شدت از یک سطح کروی شعاع rپوشش یک شارژ نقطه ای س، واقع در مرکز آن (شکل 124)،

این نتیجه برای یک سطح بسته با هر شکلی معتبر است. در واقع، اگر یک کره (شکل 124) را با یک سطح بسته دلخواه احاطه کنید، هر خط کششی که به کره نفوذ می کند نیز از این سطح عبور می کند.

اگر یک سطح بسته با شکل دلخواه باری را محصور کند (شکل 125)، آنگاه وقتی هر خط کششی انتخاب شده با سطح قطع می شود، یا وارد آن می شود یا از آن خارج می شود. تعداد فرد از تقاطع ها هنگام محاسبه شار در نهایت به یک تقاطع کاهش می یابد، زیرا اگر خطوط تنش از سطح خارج شوند، شار مثبت و برای خطوط ورودی منفی در نظر گرفته می شود.

به سطح اگر یک سطح بسته باری را محصور نکند، شار عبوری از آن صفر است، زیرا تعداد خطوط کششی وارد شده به سطح برابر است با تعداد خطوط کششی که از آن خارج می شوند.

بنابراین، برای یک سطح با هر شکل، اگر بسته باشد و حاوی بار نقطه ای باشد س،جریان برداری Eبرابر Q/e 0 خواهد بود، یعنی.

علامت جریان با علامت شارژ منطبق است سحالت کلی یک سطح دلخواه اطراف را در نظر بگیرید nاتهامات. مطابق با اصل برهم نهی (80.2)، کشش Eمیدان ایجاد شده توسط تمام بارها برابر است با مجموع ولتاژها E i ایجاد شده توسط هر شارژ به طور جداگانه: ; . از همین رو

مطابق (81.1)، هر یک از انتگرال های زیر علامت جمع برابر است با Q i /e 0. از این رو،

فرمول (81.2) قضیه را بیان می کند گاوسی برای میدان الکترواستاتیک در خلاء:جریان بردار شدت میدان الکترواستاتیک در خلاء از طریق یک سطح بسته دلخواه برابر است با مجموع جبری بارهای موجود در این سطح، تقسیم بر e 0. این قضیه توسط ریاضیدان روسی M. V. Ostrogradsky (1801 - 1862) و سپس مستقل از او در رابطه با میدان الکترواستاتیک - توسط K. Gauss به صورت ریاضی برای یک میدان برداری از هر ماهیتی استخراج شد.

به طور کلی، بارهای الکتریکی را می توان با مقداری «آلوده» کرد

چگالی ظاهری r=dQ/dV، متفاوت است

در مکان های مختلف فضا سپس بار کل موجود در یک سطح بسته S که حجم مشخصی را پوشش می دهد V،

با استفاده از فرمول (81.3)، قضیه گاوس (81.2) را می توان به صورت زیر نوشت.