هرمچند وجهی است که یکی از وجوه آن چند ضلعی است ( پایه ، و تمام وجوه دیگر مثلث هایی هستند با یک راس مشترک ( صورت های جانبی ) (شکل 15). هرم نامیده می شود درست ، اگر قاعده آن چند ضلعی منتظم باشد و بالای هرم به مرکز قاعده بیرون زده باشد (شکل 16). هرم مثلثی که تمام لبه های آن برابر است نامیده می شود چهار وجهی .

دنده جانبیهرم آن طرف وجه جانبی است که به قاعده تعلق ندارد ارتفاع هرم فاصله بالای آن تا صفحه قاعده است. تمام لبه های جانبی هرم منظم با یکدیگر برابرند، تمام وجوه جانبی مثلث های متساوی الساقین هستند. ارتفاع وجه جانبی هرم منظمی که از راس کشیده شده است نامیده می شود حکم . بخش مورب به قسمتی از هرم گفته می شود که صفحه ای از دو لبه جانبی عبور می کند که به یک وجه تعلق ندارند.

سطح جانبیهرم مجموع مساحت تمام وجوه جانبی است. سطح کل مجموع مساحت تمام وجوه جانبی و قاعده نامیده می شود.

قضایا

1. اگر در یک هرم تمام لبه های جانبی به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که نزدیک قاعده محصور شده است بیرون زده می شود.

2. اگر تمام لبه های کناری هرم دارای طول مساوی باشند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که نزدیک قاعده محصور شده است بیرون زده می شود.

3. اگر تمام وجوه در یک هرم به یک اندازه متمایل به صفحه قاعده باشند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره ای که در قاعده حک شده است بیرون زده می شود.

برای محاسبه حجم هرم دلخواه، فرمول صحیح این است:

جایی که V- جلد؛

پایه S- مساحت پایه؛

اچ- ارتفاع هرم

برای یک هرم معمولی، فرمول های زیر صحیح است:

جایی که پ- محیط پایه؛

ساعت یک- ابهام

اچ- ارتفاع؛

اس پر

سمت S

پایه S- مساحت پایه؛

V- حجم یک هرم منظم.

هرم کوتاه شدهبه بخشی از هرم که بین پایه و صفحه برش موازی با پایه هرم محصور شده است (شکل 17). هرم ناقص منظم به بخشی از یک هرم منظم که بین پایه و صفحه برش موازی با قاعده هرم محصور شده است.

زمینههرم کوتاه - چند ضلعی های مشابه. صورت های جانبی - ذوزنقه ها ارتفاع یک هرم کوتاه فاصله بین پایه های آن است. مورب هرم ناقص قطعه ای است که رئوس آن را که روی یک صورت قرار ندارند به هم متصل می کند. بخش مورب بخشی از یک هرم ناقص است که توسط صفحه ای از دو لبه جانبی عبور می کند که به یک وجه تعلق ندارند.

برای یک هرم کوتاه فرمول های زیر معتبر هستند:

(4)

جایی که اس 1 , اس 2- نواحی پایه های بالا و پایین.

اس پر- سطح کل؛

سمت S- سطح جانبی؛

اچ- ارتفاع؛

V- حجم یک هرم کوتاه

برای یک هرم کوتاه معمولی فرمول صحیح است:

جایی که پ 1 , پ 2 – محیط پایه ها

ساعت یک- شعار یک هرم منقطع منظم.

مثال 1.در یک هرم مثلثی منظم، زاویه دو وجهی در قاعده 60 درجه است. مماس زاویه میل لبه کناری بر صفحه قاعده را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 18).

هرم منظم است، به این معنی که در قاعده یک مثلث متساوی الاضلاع وجود دارد و تمام وجوه جانبی مثلث متساوی الساقین هستند. زاویه دو وجهی در قاعده، زاویه تمایل وجه جانبی هرم به صفحه قاعده است. زاویه خطی زاویه است آبین دو عمود: و غیره بالای هرم در مرکز مثلث پیش بینی شده است (مرکز دایره دایره و دایره محاط شده مثلث ABC). زاویه شیب لبه جانبی (به عنوان مثال S.B.) زاویه بین خود لبه و برآمدگی آن بر روی صفحه پایه است. برای دنده S.B.این زاویه زاویه خواهد بود SBD. برای پیدا کردن مماس باید پاها را بشناسید بنابراینو O.B.. طول قطعه را بگذارید BDبرابر با 3 آ. نقطه در بارهبخش خط BDبه قطعات تقسیم می شود: و از ما پیدا می کنیم بنابراین: از ما در می یابیم:

پاسخ:

مثال 2.حجم هرم چهار گوش بریده منتظم را در صورتی بیابید که قطر قاعده های آن برابر با سانتی متر و سانتی متر و ارتفاع آن 4 سانتی متر باشد.

راه حل.برای یافتن حجم هرم ناقص از فرمول (4) استفاده می کنیم. برای پیدا کردن مساحت پایه ها، باید اضلاع مربع های پایه را با دانستن قطر آنها پیدا کنید. اضلاع پایه ها به ترتیب برابر با 2 سانتی متر و 8 سانتی متر است یعنی مساحت پایه ها و با جایگزینی تمام داده ها در فرمول، حجم هرم بریده شده را محاسبه می کنیم:

پاسخ: 112 سانتی متر 3.

مثال 3.مساحت وجه جانبی یک هرم منقطع مثلثی منتظم را که اضلاع قاعده های آن 10 سانتی متر و 4 سانتی متر و ارتفاع هرم 2 سانتی متر است را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 19).

وجه جانبی این هرم ذوزنقه ای متساوی الساقین است. برای محاسبه مساحت ذوزنقه باید پایه و ارتفاع آن را بدانید. پایه ها با توجه به شرایط داده شده است، فقط ارتفاع نامعلوم باقی مانده است. از کجا پیداش میکنیم آ 1 Eعمود بر یک نقطه آ 1 در صفحه پایه پایین، آ 1 D- عمود بر آ 1 در هر AC. آ 1 E= 2 سانتی متر، زیرا این ارتفاع هرم است. برای پیدا کردن DEبیایید یک نقاشی اضافی ایجاد کنیم که نمای بالایی را نشان می دهد (شکل 20). نقطه در باره- برآمدگی مراکز پایه های بالا و پایین. از آنجا که (نگاه کنید به شکل 20) و از سوی دیگر خوب– شعاع حک شده در دایره و OM- شعاع حک شده در یک دایره:

MK = DE.

با توجه به قضیه فیثاغورث از

ناحیه کناری صورت:

پاسخ:

مثال 4.در قاعده هرم یک ذوزنقه متساوی الساقین قرار دارد که پایه های آن قرار دارد آو ب (آ> ب). هر وجه جانبی زاویه ای برابر با صفحه قاعده هرم تشکیل می دهد j. مساحت کل هرم را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 21). مساحت کل هرم SABCDبرابر با مجموع مساحت و مساحت ذوزنقه است آ ب پ ت.

اجازه دهید از این جمله استفاده کنیم که اگر تمام وجوه هرم به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه راس به مرکز دایره محاط شده در قاعده کشیده می شود. نقطه در باره- طرح ریزی راس اسدر قاعده هرم مثلث SODبرآمدگی متعامد مثلث است CSDبه هواپیمای پایگاه با استفاده از قضیه مساحت طرح متعامد یک شکل مسطح، به دست می آوریم:

همینطور معنی داره بنابراین، مشکل به یافتن ناحیه ذوزنقه کاهش یافت آ ب پ ت. بیایید یک ذوزنقه بکشیم آ ب پ تبه طور جداگانه (شکل 22). نقطه در باره– مرکز دایره ای که در ذوزنقه حک شده است.

از آنجایی که یک دایره را می توان در ذوزنقه حک کرد، پس یا از قضیه فیثاغورث داریم

هنگام آماده شدن برای امتحان دولتی واحد در ریاضیات، دانش آموزان باید دانش خود را از جبر و هندسه نظام مند کنند. من می خواهم تمام اطلاعات شناخته شده را ترکیب کنم، به عنوان مثال، نحوه محاسبه مساحت یک هرم. علاوه بر این، از پایه و لبه های جانبی شروع می شود تا کل سطح. اگر وضعیت چهره های جانبی روشن باشد، زیرا آنها مثلث هستند، پس پایه همیشه متفاوت است.

چگونه مساحت قاعده هرم را پیدا کنیم؟

این می تواند کاملاً هر شکلی باشد: از یک مثلث دلخواه تا یک n-gon. و این پایه علاوه بر تفاوت در تعداد زوایا می تواند یک شکل منظم یا نامنظم باشد. در تکالیف آزمون یکپارچه ایالتی که مورد علاقه دانش‌آموزان است، فقط وظایفی با ارقام صحیح در پایه وجود دارد. بنابراین، ما فقط در مورد آنها صحبت خواهیم کرد.

مثلث منظم

یعنی متساوی الاضلاع. چیزی که در آن همه اضلاع برابر هستند و با حرف "الف" مشخص می شوند. در این حالت، مساحت پایه هرم با فرمول محاسبه می شود:

S = (a 2 * √3) / 4.

مربع

فرمول محاسبه مساحت آن ساده ترین است، در اینجا "a" دوباره طرف است:

n-gon منظم خودسرانه

ضلع یک چند ضلعی نماد یکسانی دارد. برای تعداد زاویه ها از حرف لاتین n استفاده می شود.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

هنگام محاسبه سطح جانبی و کل سطح چه باید کرد؟

از آنجایی که قاعده یک شکل منظم است، تمام وجوه هرم با هم برابر هستند. علاوه بر این، هر یک از آنها یک مثلث متساوی الساقین است، زیرا لبه های جانبی برابر هستند. سپس، برای محاسبه مساحت جانبی هرم، به فرمولی متشکل از مجموع تک‌جملات یکسان نیاز دارید. تعداد عبارت ها با تعداد اضلاع پایه تعیین می شود.

مساحت مثلث متساوی الساقین با فرمولی که در آن نصف حاصلضرب قاعده در ارتفاع ضرب می شود محاسبه می شود. این ارتفاع در هرم آپوتم نامیده می شود. نام آن "A" است. فرمول کلی سطح جانبی به صورت زیر است:

S = ½ P*A، که در آن P محیط قاعده هرم است.

موقعیت هایی وجود دارد که اضلاع پایه مشخص نیست، اما لبه های جانبی (c) و زاویه صاف در راس آن (α) آورده شده است. سپس برای محاسبه مساحت جانبی هرم باید از فرمول زیر استفاده کنید:

S = n/2 * در 2 sin α .

وظیفه شماره 1

وضعیت.مساحت کل هرم را در صورتی بیابید که قاعده آن 4 سانتی متر باشد و ضلع آن 3 سانتی متر باشد.

راه حل.شما باید با محاسبه محیط پایه شروع کنید. از آنجایی که این یک مثلث منظم است، پس P = 3 * 4 = 12 سانتی متر. از آنجا که آپوتم شناخته شده است، می توانیم بلافاصله مساحت کل سطح جانبی را محاسبه کنیم: ½ * 12 * √3 = 6√3 سانتی متر مربع.

برای مثلث در پایه، مقدار مساحت زیر را دریافت می کنید: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 سانتی متر مربع.

برای تعیین کل منطقه، باید دو مقدار حاصل را اضافه کنید: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

پاسخ. 10√3 سانتی متر 2.

مشکل شماره 2

وضعیت. یک هرم چهار گوش منظم وجود دارد. طول سمت پایه 7 میلی متر، لبه کناری 16 میلی متر است. باید مساحت سطح آن را دریابید.

راه حل.از آنجایی که چند وجهی چهار ضلعی و منظم است، قاعده آن مربع است. هنگامی که مساحت قاعده و وجه جانبی را بدانید، می توانید مساحت هرم را محاسبه کنید. فرمول مربع در بالا آورده شده است. و برای وجوه جانبی، تمام اضلاع مثلث مشخص است. بنابراین می توانید از فرمول هرون برای محاسبه مساحت آنها استفاده کنید.

اولین محاسبات ساده است و به عدد زیر منتهی می شود: 49 میلی متر 2. برای مقدار دوم، شما باید نیم محیط را محاسبه کنید: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 میلی متر. اکنون می توانید مساحت یک مثلث متساوی الساقین را محاسبه کنید: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 میلی متر 2. تنها چهار مثلث وجود دارد، بنابراین هنگام محاسبه عدد نهایی باید آن را در 4 ضرب کنید.

معلوم می شود: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 میلی متر 2.

پاسخ. مقدار مورد نظر 267.576 میلی متر مربع است.

مشکل شماره 3

وضعیت. برای یک هرم چهار گوش معمولی، باید مساحت را محاسبه کنید. ضلع مربع 6 سانتی متر و ارتفاع آن 4 سانتی متر شناخته شده است.

راه حل.ساده ترین راه استفاده از فرمول با حاصلضرب محیط و آپوتم است. پیدا کردن مقدار اول آسان است. مورد دوم کمی پیچیده تر است.

ما باید قضیه فیثاغورث را به خاطر بسپاریم و در نظر بگیریم که از ارتفاع هرم و آپوتم که فرضیه است تشکیل شده است. پایه دوم برابر است با نصف ضلع مربع، زیرا ارتفاع چند وجهی به وسط آن می افتد.

آپوتم مورد نیاز (هیپوتنوز مثلث قائم الزاویه) برابر است با √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

اکنون می توانید مقدار مورد نیاز را محاسبه کنید: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

پاسخ. 96 سانتی متر 2.

مشکل شماره 4

وضعیت.ضلع صحیح داده شده است اضلاع پایه آن 22 میلی متر، لبه های کناری 61 میلی متر است. سطح جانبی این چند وجهی چقدر است؟

راه حل.استدلال در آن همان است که در کار شماره 2 توضیح داده شده است. فقط در آنجا یک هرم با مربع در قاعده داده شد و اکنون یک شش ضلعی است.

اول از همه، مساحت پایه با استفاده از فرمول فوق محاسبه می شود: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm2.

اکنون باید نیم محیط یک مثلث متساوی الساقین را که وجه جانبی است، پیدا کنید. (22+61*2):2 = 72 سانتی‌متر. تنها چیزی که باقی می‌ماند این است که از فرمول هرون برای محاسبه مساحت هر مثلث استفاده کنید و سپس آن را در شش ضرب کنید و به شکلی که برای پایه به دست می‌آید اضافه کنید.

محاسبات با استفاده از فرمول هرون: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. محاسباتی که سطح جانبی را نشان می دهد: 660 * 6 = 3960 سانتی متر مربع. باقی مانده است که آنها را جمع کنید تا کل سطح را پیدا کنید: 5217.47≈5217 سانتی متر مربع.

پاسخ.پایه 726√3 سانتی متر مربع، سطح جانبی 3960 سانتی متر مربع، کل مساحت 5217 سانتی متر مربع است.

در اینجا می توانید اطلاعات اولیه در مورد اهرام و فرمول ها و مفاهیم مرتبط را بیابید. همه آنها برای آمادگی برای آزمون دولتی یکپارچه با یک معلم خصوصی ریاضی مطالعه می شوند.

یک صفحه، یک چند ضلعی را در نظر بگیرید ، در آن خوابیده و یک نقطه S، نه در آن خوابیده است. بیایید S را به تمام رئوس چندضلعی وصل کنیم. چندوجهی به دست آمده هرم نامیده می شود. قطعات را دنده های جانبی می نامند. چند ضلعی قاعده نامیده می شود و نقطه S بالای هرم است. بسته به عدد n، هرم را مثلثی (n=3)، چهار گوش (n=4)، پنج ضلعی (n=5) و غیره می نامند. نام جایگزین برای هرم مثلثی شکل است چهار وجهی. ارتفاع هرم عمود نزول از بالای آن به صفحه قاعده است.

هرم اگر منظم نامیده می شود یک چند ضلعی منتظم و قاعده ارتفاع هرم (پایه عمود) مرکز آن است.

نظر استاد راهنما:
مفاهیم "هرم منظم" و "چهاروجهی منظم" را اشتباه نگیرید. در هرم منظم، لبه های کناری لزوماً با لبه های قاعده برابر نیستند، اما در چهار وجهی منظم، هر 6 یال با هم برابرند. این تعریف اوست. به راحتی می توان ثابت کرد که تساوی دلالت بر منطبق بودن مرکز P چند ضلعی دارد با ارتفاع پایه، بنابراین یک چهار وجهی منظم یک هرم منظم است.

آپوتم چیست؟
علامت هرم ارتفاع وجه جانبی آن است. اگر هرم منتظم باشد، پس تمام اثار آن برابر است. عکس این قضیه درست نیست.

یک معلم ریاضی در مورد اصطلاحات خود: 80٪ کار با اهرام از طریق دو نوع مثلث ساخته می شود:
1) حاوی آپوتم SK و ارتفاع SP
2) حاوی لبه جانبی SA و PA برآمدگی آن

برای ساده کردن ارجاعات به این مثلث ها، برای معلم ریاضی راحت تر است که اولین آنها را فراخوانی کند. بی روح، و دوم ساحلی. متأسفانه در هیچ یک از کتاب های درسی این اصطلاح را پیدا نمی کنید و معلم باید آن را یک طرفه معرفی کند.

فرمول حجم یک هرم:
1) ، مساحت قاعده هرم کجاست و ارتفاع هرم است
2) که شعاع کره محاطی است و مساحت کل سطح هرم است.
3) ، که در آن MN فاصله بین هر دو یال متقاطع است و مساحت متوازی الاضلاع است که توسط نقاط میانی چهار یال باقی مانده تشکیل شده است.

ویژگی قاعده ارتفاع هرم:

نقطه P (نگاه کنید به شکل) با مرکز دایره محاطی شده در قاعده هرم منطبق است اگر یکی از شرایط زیر وجود داشته باشد:
1) همه ابهام ها برابرند
2) تمام وجوه جانبی به یک اندازه به پایه متمایل هستند
3) همه آپوتم ها به یک اندازه به ارتفاع هرم تمایل دارند
4) ارتفاع هرم به یک اندازه به تمام وجوه جانبی متمایل است

نظر معلم ریاضی: لطفاً توجه داشته باشید که همه نقاط با یک ویژگی مشترک متحد می شوند: به هر شکلی، چهره های جانبی همه جا درگیر هستند (آپوتم ها عناصر آنها هستند). بنابراین، معلم می‌تواند فرمول‌بندی کمتر دقیق‌تر، اما راحت‌تر برای یادگیری ارائه دهد: نقطه P با مرکز دایره محاط شده، پایه هرم منطبق است، اگر اطلاعات مساوی در مورد وجوه جانبی آن وجود داشته باشد. برای اثبات آن کافی است نشان دهیم که همه مثلث های آپوتم برابر هستند.

نقطه P منطبق بر مرکز دایره ای است که در نزدیکی قاعده هرم احاطه شده است اگر یکی از سه شرط درست باشد:
1) تمام لبه های جانبی برابر هستند
2) همه دنده های جانبی به یک اندازه به پایه متمایل هستند
3) همه دنده های جانبی به یک اندازه به ارتفاع متمایل می شوند

دانش آموزان مدت ها قبل از مطالعه هندسه با مفهوم هرم مواجه می شوند. تقصیر عجایب مشهور مصری جهان است. بنابراین، هنگام شروع مطالعه این چند وجهی شگفت انگیز، اکثر دانش آموزان به وضوح آن را تصور می کنند. تمام جاذبه های ذکر شده در بالا شکل صحیحی دارند. چه اتفاقی افتاده است هرم منظمو اینکه چه خواصی دارد بیشتر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

در تماس با

تعریف

تعاریف بسیار زیادی از هرم وجود دارد. از زمان های قدیم بسیار محبوب بوده است.

به عنوان مثال، اقلیدس آن را به عنوان یک شکل بدنی متشکل از صفحاتی که از یک شروع می‌شوند، در نقطه‌ای معین همگرا می‌دانند.

هرون فرمول دقیق تری ارائه کرد. او اصرار داشت که این رقمی است که دارای قاعده و صفحاتی به شکل مثلث،در یک نقطه همگرایی

بر اساس تفسیر مدرن، هرم به عنوان یک چند وجهی فضایی، متشکل از یک شکل مثلثی مسطح k-gon و k که دارای یک نقطه مشترک است، نشان داده می شود.

بیایید با جزئیات بیشتری به آن نگاه کنیم، از چه عناصری تشکیل شده است:

• k-gon اساس شکل در نظر گرفته می شود.
• اشکال 3 ضلعی به عنوان لبه های قسمت جانبی بیرون زده است.
• قسمت بالایی که عناصر جانبی از آن سرچشمه می گیرند راس نامیده می شود.
• تمام بخش هایی که یک راس را به هم متصل می کنند، لبه نامیده می شوند.
• اگر یک خط مستقیم از راس به صفحه شکل با زاویه 90 درجه پایین بیاید، قسمت آن که در فضای داخلی قرار دارد ارتفاع هرم است.
• در هر عنصر جانبی، یک عمود به نام آپوتم، می تواند به سمت چند وجهی ما کشیده شود.

تعداد یال ها با استفاده از فرمول 2*k محاسبه می شود که k تعداد اضلاع k-gon است. چند وجهی مانند هرم را می توان با استفاده از عبارت k+1 تعیین کرد.

مهم!هرم منظم شکلی استریومتریک است که صفحه پایه آن k-gon با اضلاع مساوی است.

خواص اساسی

هرم درست خواص زیادی دارد،که مختص اوست بیایید آنها را فهرست کنیم:

1. اساس یک شکل از شکل صحیح است.
2. لبه های هرم که عناصر جانبی را محدود می کنند دارای مقادیر عددی مساوی هستند.
3. عناصر جانبی مثلث متساوی الساقین هستند.
4. قاعده ارتفاع شکل در مرکز چند ضلعی قرار می گیرد، در حالی که به طور همزمان نقطه مرکزی محاط و محاط است.
5. تمام دنده های جانبی با یک زاویه به صفحه پایه متمایل می شوند.
6. تمام سطوح جانبی نسبت به پایه زاویه شیب یکسانی دارند.

به لطف همه ویژگی های ذکر شده، انجام محاسبات عناصر بسیار ساده تر است. بر اساس خواص فوق به آن توجه می کنیم دو نشانه:

1. در صورتی که چند ضلعی در یک دایره قرار گیرد، وجه های جانبی دارای زوایای مساوی با قاعده خواهند بود.
2. هنگام توصیف یک دایره در اطراف یک چند ضلعی، تمام لبه های هرم که از راس سرچشمه می گیرد دارای طول و زوایای مساوی با قاعده خواهند بود.

اساس یک مربع است

هرم چهار گوش منظم - چندوجهی که قاعده آن مربع است.

دارای چهار وجه جانبی است که از نظر ظاهری متساوی الساقین هستند.

یک مربع بر روی یک صفحه به تصویر کشیده شده است، اما بر اساس تمام ویژگی های یک چهارضلعی منظم است.

به عنوان مثال، اگر لازم است ضلع مربع را با قطر آن مرتبط کنیم، از فرمول زیر استفاده کنید: قطر برابر است با حاصلضرب ضلع مربع و جذر دو.

این بر اساس یک مثلث منظم است

هرم مثلثی منتظم چند وجهی است که قاعده آن 3 ضلعی منظم است.

اگر پایه یک مثلث منظم باشد و لبه های کناری با لبه های پایه برابر باشد، چنین شکلی چهار وجهی نامیده می شود.

تمام وجوه یک چهار وجهی 3 ضلعی متساوی الاضلاع هستند. در این مورد، شما باید نکاتی را بدانید و هنگام محاسبه زمان را روی آنها تلف نکنید:

• زاویه شیب دنده ها به هر پایه 60 درجه است.
• اندازه تمام چهره های داخلی نیز 60 درجه است.
• هر صورت می تواند به عنوان یک پایه عمل کند.
• ، در داخل شکل ترسیم شده است، این عناصر برابر هستند.

بخش های چند وجهی

در هر چند وجهی وجود دارد چندین نوع بخشتخت. اغلب در یک دوره هندسه مدرسه با دو کار می کنند:

• محوری؛
• به موازات اساس

یک مقطع محوری با تقاطع یک چند وجهی با صفحه ای که از راس، لبه های جانبی و محور می گذرد به دست می آید. در این حالت، محور ارتفاعی است که از راس گرفته شده است. صفحه برش توسط خطوط تقاطع با تمام وجوه محدود می شود و در نتیجه یک مثلث ایجاد می شود.

توجه!در یک هرم منظم، بخش محوری یک مثلث متساوی الساقین است.

اگر صفحه برش موازی با پایه باشد، نتیجه گزینه دوم است. در این حالت یک شکل مقطعی مشابه پایه داریم.

به عنوان مثال، اگر یک مربع در پایه وجود داشته باشد، بخش موازی با پایه نیز یک مربع خواهد بود، فقط با ابعاد کوچکتر.

هنگام حل مسائل تحت این شرایط، آنها از علائم و ویژگی های تشابه شکل ها استفاده می کنند. بر اساس قضیه تالس. ابتدا لازم است ضریب تشابه را تعیین کنیم.

اگر صفحه به موازات قاعده کشیده شود و قسمت بالایی چند وجهی را قطع کند، در قسمت پایین یک هرم منقطع منظم به دست می آید. سپس گفته می شود که پایه های یک چندوجهی کوتاه چندضلعی های مشابه هستند. در این حالت، وجوه جانبی ذوزنقه ای متساوی الساقین هستند. قسمت محوری نیز متساوی الساقین است.

برای تعیین ارتفاع یک چندوجهی ناقص باید ارتفاع را در قسمت محوری یعنی ذوزنقه ترسیم کرد.

مناطق سطحی

مسائل هندسی اصلی که باید در یک درس هندسه مدرسه حل شوند عبارتند از پیدا کردن مساحت و حجم هرم

دو نوع مقادیر سطح وجود دارد:

• مساحت عناصر جانبی؛
• مساحت کل سطح

از خود نام مشخص است که ما در مورد چه چیزی صحبت می کنیم. سطح جانبی فقط شامل عناصر جانبی است. از این نتیجه می شود که برای پیدا کردن آن، فقط باید مناطق صفحات جانبی، یعنی مناطق متساوی الساقین 3 ضلعی را با هم جمع کنید. بیایید سعی کنیم فرمول مساحت عناصر جانبی را استخراج کنیم:

1. مساحت یک متساوی الساقین 3 ضلعی Str=1/2(aL) است، جایی که a ضلع قاعده است، L نقطه پایانی است.
2. تعداد صفحات جانبی به نوع k-gon در پایه بستگی دارد. به عنوان مثال، یک هرم چهار گوش منتظم دارای چهار صفحه جانبی است. بنابراین لازم است مساحت های چهار شکل Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L را جمع کنیم. این عبارت به این صورت ساده شده است زیرا مقدار 4a = Rosn است که Rosn محیط پایه است. و عبارت 1/2*Rosn نیم محیط آن است.
3. بنابراین، نتیجه می گیریم که مساحت عناصر جانبی یک هرم منظم برابر است با حاصلضرب نیم محیط قاعده و آپوتم: Sside = Rosn * L.

مساحت کل سطح هرم از مجموع مساحت صفحات جانبی و قاعده تشکیل شده است: Sp.p. = Sside + Sbas.

در مورد مساحت پایه، در اینجا فرمول با توجه به نوع چند ضلعی استفاده می شود.

حجم یک هرم منظمبرابر حاصلضرب مساحت صفحه پایه و ارتفاع تقسیم بر سه: V=1/3*Sbas*H که H ارتفاع چندوجهی است.

هرم منظم در هندسه چیست؟

ویژگی های یک هرم چهار گوش منتظم

بیایید در نظر بگیریم که اهرام چه ویژگی هایی دارند که در آن وجوه جانبی بر قاعده عمود هستند.

اگر دو وجه جانبی مجاور هرم بر قاعده عمود هستند، آن لبه جانبی مشترک این وجوه، ارتفاع هرم است. اگر مشکل این را می گوید لبه هرم ارتفاع آن است، پس ما در مورد این نوع هرم صحبت می کنیم.

وجوه هرم عمود بر قاعده مثلث قائم الزاویه است.

اگر قاعده هرم مثلث باشد

در حالت کلی، سطح جانبی چنین هرمی را به عنوان مجموع مساحت تمام وجوه جانبی جستجو می کنیم.

قاعده هرم برآمدگی متعامد صورت است، نه عمود بر قاعده (در این مورد، SBC). این بدان معناست که طبق قضیه مساحت برآمدگی متعامد، مساحت قاعده برابر است با حاصلضرب مساحت این وجه و کسینوس زاویه بین آن و صفحه قاعده. .

اگر قاعده هرم مثلث قائم الزاویه باشد

در این مورد تمام وجوه هرم مثلث قائم الزاویه هستند.

مثلث های SAB و SAC مستطیل شکل هستند، زیرا SA ارتفاع هرم است. مثلث ABC قائم الزاویه است.

این واقعیت که مثلث SBC قائم الزاویه است از قضیه سه عمود بر می آید (AB طرح SB مایل بر روی صفحه قاعده است. از آنجایی که AB بر اساس شرط بر BC عمود است، پس SB بر BC عمود است).

زاویه بین وجه جانبی SBC و پایه در این مورد زاویه ABS است.

مساحت سطح جانبی برابر است با مجموع مساحت مثلث های قائم الزاویه:

از آنجایی که در این مورد

اگر قاعده هرم یک مثلث متساوی الساقین باشد

در این مورد، زاویه بین صفحه جانبی BCS و صفحه پایه زاویه AFS است، که در آن AF ارتفاع، میانه و نیمساز مثلث متساوی الساقین ABC است.

به همین ترتیب، اگر در قاعده هرم یک مثلث متساوی الاضلاع ABC وجود داشته باشد.

اگر قاعده هرم متوازی الاضلاع باشد

در این حالت، قاعده هرم یک برآمدگی متعامد از وجوه جانبی است که بر قاعده عمود نیستند.

اگر پایه را به دو مثلث تقسیم کنیم، پس

که α و β به ترتیب زوایای بین صفحات ADS و CDS و صفحه پایه هستند.

اگر BF و BK ارتفاع متوازی الاضلاع باشند، زاویه BFS زاویه میل CDS وجه جانبی به صفحه پایه است و زاویه BKS زاویه میل ضلع ADS است.

(نقاشی برای حالتی ساخته شده است که B یک زاویه مبهم است).

اگر قاعده هرم لوزی ABCD باشد، زوایای BFS و BKS برابر هستند. مثلث های ABS و CBS و همچنین ADS و CDS نیز در این مورد برابر هستند.

اگر قاعده هرم مستطیل باشد

در این حالت، زاویه بین صفحه جانبی SAD و صفحه پایه زاویه SAB است.

و زاویه بین صفحه جانبی SCD و صفحه پایه زاویه SCB است

(با قضیه سه عمود).