بدیهی است که اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر اضافه کرد ، با اضافه کردن یک به یک آنها با علائم آنها.
بنابراین، مجموع a 3 و b 2 a 3 + b 2 است.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 a 3 - b n + h 5 - d 4 است.
شانس قدرت های یکسان متغیرهای مشابهرا می توان اضافه یا کم کرد.
بنابراین، مجموع 2a 2 و 3a 2 برابر با 5a 2 است.
همچنین بدیهی است که اگر دو مربع a یا سه مربع a یا پنج مربع a بگیریم.
اما درجات متغیرهای مختلفو درجات مختلف متغیرهای یکسان، باید با اضافه کردن آنها به علائم آنها اضافه شود.
بنابراین، مجموع 2 و 3 حاصل جمع 2 + a 3 است.
واضح است که مربع a و مکعب a نه دو برابر مربع a بلکه دو برابر مکعب a است.
مجموع a 3 b n و 3a 5 b 6 a 3 b n + 3a 5 b 6 است.
منها کردنقدرت ها به همان روش جمع انجام می شود، با این تفاوت که علائم فرعی باید بر این اساس تغییر کند.
یا:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6
اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر با نوشتن پشت سر هم با علامت ضرب بین آنها یا بدون علامت ضرب کرد.
بنابراین، حاصل ضرب a 3 در b 2 a 3 b 2 یا aaabb است.
یا:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
نتیجه در مثال آخر را می توان با اضافه کردن همان متغیرها مرتب کرد.
این عبارت به شکل a 5 b 5 y 3 خواهد بود.
با مقایسه چندین عدد (متغیر) با توان ها، می بینیم که اگر هر دو عدد از آنها ضرب شوند، نتیجه یک عدد (متغیر) با توانی برابر با مجموعدرجات اصطلاحات
بنابراین، a 2.a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.
در اینجا 5 توان حاصل ضرب است، برابر با 2 + 3، مجموع توان های جمله ها.
بنابراین، a n .a m = a m+n.
برای a n، a به اندازه توان n به عنوان ضریب در نظر گرفته می شود.
و a m، به عنوان ضریب در نظر گرفته می شود به همان اندازه که درجه m برابر است.
بنابراین، توان های با پایه های یکسان را می توان با جمع کردن توان ها ضرب کرد.
بنابراین، a 2.a 6 = a 2+6 = a 8. و x 3.x 2.x = x 3+2+1 = x 6.
یا:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
ضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
پاسخ: x 4 - y 4.
ضرب (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
این قانون برای اعدادی که توان آنها − هستند نیز صادق است منفی.
1. بنابراین، a -2 .a -3 = a -5. این را می توان به صورت (1/aa) نوشت.(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m.
3. a -n .a m = a m-n.
اگر a + b در a - b ضرب شود، نتیجه a 2 - b 2 خواهد بود: یعنی
حاصل ضرب مجموع یا تفاضل دو عدد برابر است با مجموع یا تفاضل مجذورهای آنها.
اگر مجموع و تفاضل دو عدد افزایش یابد مربع، نتیجه برابر با مجموع یا تفاضل این اعداد در خواهد بود چهارمدرجه.
بنابراین، (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
اعداد توانی را می توان مانند سایر اعداد با تفریق از مقسوم علیه یا با قرار دادن آنها به صورت کسری تقسیم کرد.
بنابراین 3 b 2 تقسیم بر b 2 a 3 است.
نوشتن 5 تقسیم بر 3 شبیه $\frac است $. اما این برابر با 2 است. در یک سری اعداد
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
هر عددی را می توان بر عدد دیگری تقسیم کرد و توان آن برابر خواهد بود تفاوتشاخص های اعداد بخش پذیر
هنگام تقسیم توان ها با پایه یکسان، توان آنها کم می شود..
بنابراین، y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . یعنی $\frac = y$.
و a n+1:a = a n+1-1 = a n. یعنی $\frac = a^n$.
یا:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
این قانون برای اعداد با نیز معتبر است منفیمقادیر درجه
نتیجه تقسیم یک -5 بر -3 -2 است.
همچنین $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 یا $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
لازم است که ضرب و تقسیم توان ها را به خوبی تسلط داشت، زیرا چنین عملیاتی در جبر بسیار استفاده می شود.
1. کاهش توان در $\frac $ پاسخ: $\frac $.
2. نماها را در $\frac$ کاهش دهید. پاسخ: $\frac $ یا 2x.
3. توان های a 2 / a 3 و a -3 / a -4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
a 2.a -4 یک عدد اول -2 است.
a 3 .a -3 0 = 1 است، دومین عدد.
a 3 .a -4 یک -1 است، عدد مشترک.
پس از ساده سازی: a -2 /a -1 و 1/a -1 .
4. توان 2a 4 /5a 3 و 2 /a 4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
پاسخ: 2a 3 / 5a 7 و 5a 5 / 5a 7 یا 2a 3 / 5a 2 و 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4 را در (a - b)/3 ضرب کنید.
6. (a 5 + 1)/x 2 را در (b 2 - 1)/(x + a) ضرب کنید.
7. b 4 /a -2 را در h -3 /x و a n /y -3 ضرب کنید.
8. 4 /y 3 را بر 3 /y 2 تقسیم کنید. پاسخ: یک
به شما یادآوری می کنیم که در این درس متوجه می شویم خواص درجهبا شاخص های طبیعی و صفر. درجات با شاخص های منطقی و ویژگی های آنها در درس های کلاس 8 مورد بحث قرار خواهد گرفت.
یک توان با توان طبیعی چندین ویژگی مهم دارد که به شما امکان می دهد محاسبات را در مثال های توان ساده کنید.
هنگام ضرب توان ها با پایه یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان ها اضافه می شوند.
a m a n \u003d a m + n، که در آن "a" هر عددی است، و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.
این خاصیت توان ها بر حاصلضرب سه توان یا بیشتر نیز تأثیر می گذارد.
لطفاً توجه داشته باشید که در ویژگی مشخص شده فقط ضرب توان با پایه های یکسان بود.. در مورد اضافه آنها صدق نمی کند.
شما نمی توانید جمع (3 3 + 3 2) را با 3 5 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر
محاسبه (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 و 3 5 = 243
هنگام تقسیم توان ها با پایه یکسان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان مقسوم علیه از توان تقسیم کننده کم می شود.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
مثال. معادله را حل کنید. ما از خاصیت درجات جزئی استفاده می کنیم.
3 8: t = 3 4
پاسخ: t = 3 4 = 81
با استفاده از خواص شماره 1 و شماره 2 می توانید به راحتی عبارات را ساده کنید و محاسبات را انجام دهید.
مثال. بیان را ساده کنید.
4 5 متر + 6 4 متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 5 متر + 6 + متر + 2: 4 4 متر + 3 = 4 6 متر + 8 − 4 متر − 3 = 4 2 متر + 5
مثال. مقدار یک عبارت را با استفاده از ویژگی های درجه پیدا کنید.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
توجه داشته باشید که ملک 2 فقط به تقسیم اختیارات با مبانی یکسان می پرداخت.
شما نمی توانید تفاوت (4 3 −4 2) را با 4 1 جایگزین کنید. این قابل درک است اگر شما (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 و 4 1 = 4 را محاسبه کنید.
هنگام افزایش توان به توان، پایه توان بدون تغییر باقی می ماند و توان ها ضرب می شوند.
(a n) m \u003d a n m، که در آن "a" هر عددی است و "m"، "n" هر عدد طبیعی است.
یادآوری می کنیم که یک ضریب را می توان به صورت کسری نشان داد. بنابراین، در صفحه بعد به طور مفصل به موضوع افزایش کسری به توان خواهیم پرداخت.
چگونه توان ها را ضرب کنیم؟ کدام توان ها را می توان ضرب کرد و کدام را نمی توان؟ چگونه یک عدد را در توان ضرب می کنیم؟
در جبر، شما می توانید حاصل ضرب قوا را در دو حالت بیابید:
1) در صورتی که مدارک دارای مبنای یکسانی باشند.
2) اگر درجات دارای شاخص های یکسان باشند.
هنگام ضرب توان ها با پایه یکسان، پایه باید ثابت بماند و توان ها باید اضافه شوند:
هنگام ضرب درجات با شاخص های یکسان، شاخص کل را می توان از پرانتز خارج کرد:
نحوه ضرب توان ها را با مثال های خاص در نظر بگیرید.
واحد در توان نوشته نمی شود، اما هنگام ضرب درجات، آنها را در نظر می گیرند:
هنگام ضرب، تعداد درجه ها می تواند هر کدام باشد. لازم به یادآوری است که نمی توانید علامت ضرب را قبل از حرف بنویسید:
در عبارات، قدرت اول انجام می شود.
اگر باید یک عدد را در توان ضرب کنید، ابتدا باید توان را انجام دهید و تنها پس از آن - ضرب:
آیا از قبل اشتراک دارید؟ وارد شدن
در این درس یاد می گیریم که چگونه توان ها را با پایه یکسان ضرب کنیم. ابتدا تعریف درجه را یادآوری می کنیم و قضیه ای را در مورد اعتبار تساوی تنظیم می کنیم . سپس مثال هایی از کاربرد آن در اعداد خاص می آوریم و آن را ثابت می کنیم. همچنین از این قضیه برای حل مسائل مختلف استفاده خواهیم کرد.
موضوع: مدرک با شاخص طبیعی و خواص آن
درس: ضرب توان ها با پایه های یکسان (فرمول)
تعاریف اساسی:
n- توان،
— n-ام قدرت یک عدد
قضیه 1.برای هر شماره آو هر طبیعی nو کبرابری درست است:
به عبارت دیگر: اگر آ- هر تعداد؛ nو کاعداد طبیعی، سپس:
بنابراین قانون 1:
نتیجه:موارد خاص صحت قضیه شماره 1 را تایید کرد. اجازه دهید آن را در حالت کلی، یعنی برای هر یک، ثابت کنیم آو هر طبیعی nو ک.
یک عدد داده شده است آ- هر شماره nو k-طبیعی ثابت كردن:
اثبات بر اساس تعریف مدرک است.
مثال 1:به عنوان مدرک ارائه شود.
برای حل مثال های زیر از قضیه 1 استفاده می کنیم.
ز) 
در اینجا یک تعمیم وجود دارد:
مثال 2:محاسبه کنید (می توانید از جدول درجات پایه استفاده کنید).
آ) 
(طبق جدول)
ب) 
مثال 3:با پایه 2 به صورت توان بنویسید.
آ) 
مثال 4:علامت عدد را مشخص کنید:
، آ -منفی است زیرا توان 13- فرد است.
مثال 5:( ) را با پاور با پایه جایگزین کنید r:
داریم یعنی .
1. Dorofeev G.V.، Suvorova S.B.، Bunimovich E.A. و همکاران جبر 7. چاپ ششم. م.: روشنگری. 2010
1. معاون مدرسه (منبع).
1. به عنوان مدرک بیان کنید:
a B C D E) 
3. با پایه 2 به صورت توان بنویسید:
4. علامت عدد را مشخص کنید:
آ) 
5. ( ) را با توان یک عدد با پایه جایگزین کنید r:
الف) r 4 ( ) = r 15 ; ب) ( ) r 5 = r 6
در این درس به بررسی ضرب توان ها با توان های یکسان می پردازیم. ابتدا تعاریف و قضایای اساسی در مورد ضرب و تقسیم توان ها با پایه های یکسان و رساندن توان به توان را یادآوری می کنیم. سپس قضایای ضرب و تقسیم توان ها را با توان های یکسان تنظیم و اثبات می کنیم. و سپس با کمک آنها تعدادی از مشکلات معمولی را حل خواهیم کرد.
اینجا آ- پایه مدرک
— n-ام قدرت یک عدد
قضیه 1.برای هر شماره آو هر طبیعی nو کبرابری درست است:
وقتی توان ها را با پایه یکسان ضرب می کنیم، توان ها اضافه می شوند، پایه بدون تغییر باقی می ماند.
قضیه 2.برای هر شماره آو هر طبیعی nو ک،به طوری که n > کبرابری درست است:
هنگام تقسیم توان ها با پایه یکسان، توان ها کم می شوند و پایه بدون تغییر باقی می ماند.
قضیه 3.برای هر شماره آو هر طبیعی nو کبرابری درست است:
تمام قضایای فوق در مورد توان های مشابه بودند زمینه، این درس درجاتی را با همان در نظر می گیرد شاخص ها.
به مثال های زیر توجه کنید:
بیایید عباراتی را برای تعیین درجه بنویسیم.
نتیجه:از نمونه ها می توانید این را ببینید 
، اما این هنوز نیاز به اثبات دارد. ما قضیه را فرمول بندی می کنیم و آن را در حالت کلی، یعنی برای هر یک، ثابت می کنیم آو بو هر طبیعی n
برای هر عددی آو بو هر طبیعی nبرابری درست است:
اثباتقضیه 4 .
با تعریف مدرک:
پس ما این را ثابت کرده ایم .
برای ضرب توان با توان یکسان، کافی است مبناها را ضرب کنیم و توان را بدون تغییر رها کنیم.
ما یک قضیه برای تقسیم قدرت ها با توان های یکسان فرموله می کنیم.
برای هر شماره آو ب() و هر طبیعی nبرابری درست است:
اثباتقضیه 5 .
بیایید با تعریف مدرک بنویسیم:
پس ما این را ثابت کرده ایم.
برای تقسیم درجه هایی با توان های یکسان به یکدیگر کافی است یک پایه را بر پایه دیگر تقسیم کنید و توان را بدون تغییر رها کنید.
مثال 1:بیان به عنوان محصول قدرت.
برای حل مثال های زیر از قضیه 4 استفاده می کنیم.
برای حل مثال زیر، فرمول ها را به یاد بیاورید:
تعمیم قضیه 4:
مثال 2:به عنوان درجه ای از محصول بنویسید.
مثال 3:با توان 2 بنویسید.
مثال 4:به منطقی ترین روش محاسبه کنید.
2. Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir M.S. جبر 7. م.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M.، Tkacheva M.V.، Fedorova N.E. و دیگران جبر 7 .م .: تعلیم و تربیت. 2006
2. معاون مدرسه (منبع).
1. ارائه به عنوان محصول قدرت:
آ) ؛ ب)؛ که در) ؛ ز)؛
2. به عنوان درجه محصول بنویسید:
3. به صورت درجه با نشانگر 2 بنویسید:
4. به منطقی ترین روش محاسبه کنید.
بخش ها:ریاضیات
هدف آموزشی:
وظایف:
واحدهای فعالیت دکترین:تعیین درجه با یک شاخص طبیعی؛ اجزای درجه؛ تعریف خصوصی؛ قانون تداعی ضرب
الف) به روز رسانی دانش:
2) تعریف مدرک را با یک شاخص طبیعی تنظیم کنید.
a n \u003d a a a a ... a (n بار)
b k \u003d b b b b a ... b (k بار) پاسخ خود را توجیه کنید.
تست خودآزمایی: (کار انفرادی در دو نسخه.)
A1) حاصل ضرب 7 7 7 7 x x x را به صورت توان بیان کنید:
A2) درجه (-3) 3 x 2 را به عنوان یک محصول بیان کنید
A3) محاسبه کنید: -2 3 2 + 4 5 3
تعداد وظایف در آزمون را مطابق با آمادگی سطح کلاس انتخاب می کنم.
برای تست یک کلید برای خودآزمایی می دهم. ضوابط: پاس-شکست.
در درس حل مسائل 1) و 2) دانش آموزان راه حلی را پیشنهاد می کنند و من به عنوان یک معلم کلاسی را تشکیل می دهم تا در هنگام ضرب با پایه های یکسان راهی برای ساده سازی توان ها پیدا کنم.
معلم: راهی برای ساده سازی قدرت ها در هنگام ضرب در یک پایه بیابید.
یک ورودی در خوشه ظاهر می شود:
موضوع درس فرمول بندی شده است. ضرب قوا.
معلم: یک قانون برای تقسیم درجات با پایه های یکسان ارائه کنید.
استدلال: چه اقدامی تقسیم را بررسی می کند؟ a 5: a 3 = ? که a 2 a 3 = a 5
به طرح - خوشه ای برمی گردم و مدخل را تکمیل می کنم - ..هنگام تقسیم موضوع درس را تفریق و اضافه می کنم. ... و تقسیم درجات.
معلم: وظیفه حداقل برای درس امروز این است که یاد بگیریم ویژگی های ضرب و تقسیم توان ها را با پایه های یکسان به کار ببریم و حداکثر: ضرب و تقسیم را با هم اعمال کنیم.
روی تخته بنویس : a m a n = a m + n ; a m: a n = m-n
الف) طبق کتاب درسی: شماره 403 (الف، ج، هـ) تکالیف با عبارات مختلف
شماره 404 (a, e, f) کار مستقل، سپس یک چک متقابل ترتیب می دهم، کلیدها را می دهم.
ب) برابری برای چه مقدار m برقرار است؟ a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
وظیفه: مثال های مشابهی برای تقسیم بیاورید.
ج) شماره 417 (الف)، شماره 418 (الف) تله برای دانش آموزان: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.
کار تشخیصی
تست(کلیدها را در پشت تست قرار دهید).
گزینه های کار: ضریب x 15: x 3 را به صورت درجه ارائه کنید. به عنوان توان، حاصلضرب (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 را نشان می دهد. که m برابری a 16 a m = a 32 true است. مقدار عبارت h 0: h 2 را با h = 0.2 بیابید. مقدار عبارت (5 2 5 0) : 5 2 را محاسبه کنید.
خلاصه درس. انعکاس.کلاس را به دو گروه تقسیم می کنم.
استدلال های گروه I را بیابید: به نفع دانش ویژگی های درجه و گروه II - استدلال هایی که می گویند بدون خواص می توانید انجام دهید. ما به همه پاسخ ها گوش می دهیم، نتیجه گیری می کنیم. در درس‌های بعدی، می‌توانید داده‌های آماری ارائه دهید و عنوان «در ذهن من جا نمی‌شود» را نام ببرید.
مرجع تاریخ. به چه اعدادی اعداد فرما می گویند.
ص 19. #403، #408، #417
کتاب های مورد استفاده:
بعد از اینکه درجه عدد مشخص شد، منطقی است که در مورد آن صحبت کنیم خواص درجه. در این مقاله، ویژگی های اصلی درجه یک عدد را در حالی که تمام توان های ممکن را لمس می کنیم، بیان می کنیم. در اینجا ما برهان تمام خصوصیات درجه ارائه می دهیم و همچنین نشان می دهیم که چگونه این ویژگی ها هنگام حل مثال ها اعمال می شوند.
پیمایش صفحه.
با تعریف توانی با توان طبیعی، توان a n حاصلضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است. بر اساس این تعریف و با استفاده از خواص ضرب اعداد واقعی، می توانیم موارد زیر را بدست آوریم و توجیه کنیم خواص درجه با توان طبیعی:
ما بلافاصله توجه می کنیم که تمام برابری های نوشته شده وجود دارد همساندر شرایط مشخص شده و قسمت راست و چپ آنها قابل تعویض است. به عنوان مثال، ویژگی اصلی کسر a m a n = a m + n با ساده سازی عباراتاغلب به شکل m+n = a m a n استفاده می شود.
حال بیایید هر یک از آنها را به تفصیل بررسی کنیم.
از ویژگی حاصل ضرب دو توان با پایه های یکسان شروع می کنیم که به آن می گویند ویژگی اصلی مدرک: برای هر عدد حقیقی a و هر عدد طبیعی m و n برابری a m ·a n =a m+n درست است.
اجازه دهید ویژگی اصلی مدرک را ثابت کنیم. با تعریف درجه ای با توان طبیعی، حاصل ضرب توان هایی با پایه های مشابه a m a n را می توان به عنوان حاصل ضرب نوشت. 
. با توجه به خواص ضرب، عبارت حاصل را می توان به صورت نوشتاری نوشت 
و این حاصل ضرب توان a با توان طبیعی m+n یعنی m+n است. این اثبات را کامل می کند.
اجازه دهید مثالی بزنیم که ویژگی اصلی مدرک را تایید می کند. بیایید درجاتی را با همان پایه های 2 و توان های طبیعی 2 و 3 بگیریم، با توجه به ویژگی اصلی درجه، می توانیم برابری 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 را بنویسیم. بیایید اعتبار آن را بررسی کنیم، که برای آن مقادیر عبارات 2 2 · 2 3 و 2 5 را محاسبه می کنیم. با انجام توان 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 و 2 5 =2 2 2 2 2=32 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8=32 و 2 5 =2 2 2 2 2=32 2 2 2 2 2=32 2 2 2 2 2 = 32 2 2 2 2 2 = 32 داریم، پس تساوی 2 2 2 3 = 2 5 درست است و ویژگی اصلی مدرک را تایید می کند.
ویژگی اصلی یک درجه بر اساس خواص ضرب را می توان به حاصل ضرب سه یا چند توان با پایه ها و توان های طبیعی یکسان تعمیم داد. بنابراین برای هر عدد k از اعداد طبیعی n 1 , n 2 , …, n k برابری a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k درست است.
به عنوان مثال، (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17.
می توانید با یک نشانگر طبیعی به ویژگی بعدی درجه بروید - دارایی قدرت های جزئی با پایه های یکسان: برای هر عدد واقعی غیر صفر a و اعداد طبیعی دلخواه m و n که شرط m>n را برآورده می کنند، برابری a m:a n =a m−n درست است.
قبل از ارائه اثبات این خاصیت، اجازه دهید به معنای شرایط اضافی در بیانیه بپردازیم. شرط a≠0 برای اجتناب از تقسیم بر صفر ضروری است، زیرا 0 n = 0 است و وقتی با تقسیم آشنا شدیم، پذیرفتیم که تقسیم بر صفر غیرممکن است. شرط m>n معرفی شده است تا از توان طبیعی فراتر نرویم. در واقع، برای m>n، توان a m-n یک عدد طبیعی است، در غیر این صورت یا صفر خواهد بود (که وقتی m-n اتفاق می افتد) یا یک عدد منفی (که زمانی اتفاق می افتد که m-n a n =a (m-n) + n = a m از برابری به دست آمده a m−n a n = a m و از رابطه ضرب با تقسیم نتیجه می شود که m−n توان جزئی m و a n است که خاصیت توان های جزئی با پایه های یکسان را ثابت می کند.
بیایید یک مثال بزنیم. بیایید دو درجه با پایه های π و توان طبیعی 5 و 2 یکسان در نظر بگیریم، ویژگی درجه در نظر گرفته شده با برابری π 5 مطابقت دارد: π 2 = π 5-3 = π 3.
حال در نظر بگیرید دارایی درجه محصول: درجه طبیعی n حاصلضرب هر دو عدد واقعی a و b برابر است با حاصل ضرب درجات a n و b n یعنی (a b) n =a n b n .
در واقع، با تعریف یک درجه با توان طبیعی، ما داریم 
. آخرین حاصل ضرب، بر اساس خواص ضرب، می تواند بازنویسی شود 
، که برابر با a n b n است.
در اینجا یک مثال است: 
.
این ویژگی تا درجه حاصلضرب سه یا چند عامل گسترش می یابد. یعنی خاصیت درجه طبیعی n حاصلضرب k عامل به صورت (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n نوشته می شود.
برای وضوح، این ویژگی را با یک مثال نشان می دهیم. برای حاصل ضرب سه عامل به توان 7، داریم.
ملک بعدی است دارایی طبیعی: ضریب اعداد حقیقی a و b , b≠0 به توان طبیعی n برابر است با ضریب توان های a n و b n یعنی (a:b) n =a n:b n .
اثبات را می توان با استفاده از ویژگی قبلی انجام داد. بنابراین (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n و از برابری (a:b) n b n =a n نتیجه می شود که (a:b) n ضریبی از a n به b n است.
بیایید این ویژگی را با استفاده از مثال اعداد خاص بنویسیم: 
.
حالا بیایید صدا کنیم ویژگی توانمندی: برای هر عدد واقعی a و هر عدد طبیعی m و n، توان a m به توان n برابر با توان a با توان m·n است، یعنی (a m) n =a m·n .
به عنوان مثال، (5 2) 3 =5 2 3 =5 6.
اثبات ویژگی قدرت در یک درجه، زنجیره برابری زیر است: 
.
اموال در نظر گرفته شده را می توان به درجه در درجه در درجه و غیره گسترش داد. به عنوان مثال، برای هر اعداد طبیعی p، q، r و s برابری است 
. برای وضوح بیشتر، بیایید مثالی با اعداد خاص بیاوریم: (((5،2) 3) 2) 5 =(5،2) 3+2+5 =(5،2) 10.
باقی مانده است که در مورد خواص مقایسه درجه با یک توان طبیعی صحبت کنیم.
ما با اثبات ویژگی مقایسه صفر و توان با توان طبیعی شروع می کنیم.
ابتدا بیایید توجیه کنیم که a n>0 برای هر a>0 .
حاصل ضرب دو عدد مثبت یک عدد مثبت است که از تعریف ضرب به دست می آید. این واقعیت و ویژگی های ضرب به ما امکان می دهد ادعا کنیم که حاصل ضرب هر تعداد اعداد مثبت نیز یک عدد مثبت خواهد بود. و توان a با توان طبیعی n طبق تعریف حاصلضرب n عامل است که هر کدام برابر a است. این استدلال‌ها به ما اجازه می‌دهند تا ادعا کنیم که برای هر پایه مثبت a، درجه a n یک عدد مثبت است. به موجب ویژگی ثابت شده 3 5 > 0 , (0.00201) 2 > 0 و 
.
کاملاً واضح است که برای هر n طبیعی با a=0 درجه a n صفر است. در واقع، 0 n =0·0·…·0=0 . برای مثال 0 3 = 0 و 0 762 = 0 .
به سراغ مبانی منفی برویم.
بیایید با حالتی شروع کنیم که توان یک عدد زوج است، آن را 2 m نشان دهید، جایی که m یک عدد طبیعی است. سپس 
. طبق قاعده ضرب اعداد منفی هر یک از حاصل ضرب a a برابر است با حاصل ضرب ماژول های اعداد a و a یعنی عددی مثبت است. بنابراین، محصول نیز مثبت خواهد بود. 
و درجه a 2 متر. در اینجا مثال هایی آورده شده است: (-6) 4 >0، (-2،2) 12 >0 و .
در نهایت، وقتی پایه a یک عدد منفی و توان یک عدد فرد 2 m−1 باشد، آنگاه 
. همه حاصلات a·a اعداد مثبت هستند، حاصلضرب این اعداد مثبت نیز مثبت است و ضرب آن در عدد منفی باقیمانده a به عدد منفی می رسد. به موجب این ویژگی، (-5) 3 17 n n حاصلضرب قسمت های چپ و راست n نابرابری واقعی a است. خصوصیات نابرابری ها، نابرابری ثابت شده به شکل a n n است. به عنوان مثال، به دلیل این خاصیت، نابرابری های 3 7 7 و 
.
باقی مانده است که آخرین ویژگی های فهرست شده قدرت ها را با توان های طبیعی اثبات کنیم. بیایید آن را فرموله کنیم. از دو درجه با شاخص های طبیعی و پایه های مثبت یکسان، کمتر از یک، درجه بیشتر است که شاخص آن کمتر است. و از دو درجه با شاخص های طبیعی و پایه های یکسان بزرگتر از یک، درجه ای که شاخص آن بزرگتر است بیشتر است. به اثبات این خاصیت می پردازیم.
اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و 0m n. برای این کار تفاوت a m − a n را می نویسیم و آن را با صفر مقایسه می کنیم. تفاوت نوشتاری پس از خارج کردن یک n از پرانتز به شکل a n ·(a m−n -1) خواهد بود. حاصلضرب به عنوان حاصلضرب عدد مثبت a n و عدد منفی a m−n -1 منفی است (a n به عنوان توان طبیعی یک عدد مثبت مثبت است و تفاوت a m−n-1 منفی است، زیرا m−n > 0 به دلیل شرط اولیه m>n، از این رو نتیجه می شود که برای 0m−n کمتر از یک است). بنابراین، a m − a n m n که قرار بود ثابت شود. مثلاً نابرابری صحیح را می‌دهیم.
باقی مانده است که قسمت دوم ملک را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای m>n و a>1، a m >a n درست است. تفاوت a m −a n پس از خارج کردن n از پرانتز به شکل n ·(a m−n −1) است. این حاصلضرب مثبت است، زیرا برای a>1 درجه a n عددی مثبت است، و تفاوت a m−n −1 عددی مثبت است، زیرا m−n>0 به دلیل شرایط اولیه، و برای a>1، درجه m-n بزرگتر از یک است. بنابراین، a m − a n > 0 و a m >a n که قرار بود ثابت شود. این ویژگی با نابرابری 3 7 > 3 2 نشان داده شده است.
از آنجایی که اعداد صحیح مثبت اعداد طبیعی هستند، پس تمام ویژگی های توان های دارای توان های اعداد صحیح مثبت دقیقاً با ویژگی های توان های دارای توان های طبیعی که در پاراگراف قبل فهرست و اثبات شده اند، مطابقت دارند.
ما یک درجه با توان عدد صحیح منفی و همچنین درجه ای با توان صفر تعریف کردیم، به طوری که تمام خصوصیات درجات با توان های طبیعی بیان شده توسط برابری ها معتبر باقی می مانند. بنابراین، همه این ویژگی ها هم برای نماهای صفر و هم برای نماهای منفی معتبر است، در حالی که، البته، پایه های درجات غیر صفر هستند.
بنابراین، برای هر عدد واقعی و غیر صفر a و b، و همچنین هر عدد صحیح m و n، موارد زیر صحیح هستند. خواص درجات با توان اعداد صحیح:
برای a=0، توان های a m و a تنها زمانی معنا پیدا می کنند که هر دو m و n اعداد صحیح مثبت باشند، یعنی اعداد طبیعی. بنابراین، خصوصیاتی که به تازگی نوشته شده اند برای مواردی که a=0 و اعداد m و n اعداد صحیح مثبت هستند نیز معتبر هستند.
اثبات هر یک از این خصوصیات کار دشواری نیست، برای این کار کافی است از تعاریف درجه با توان طبیعی و عدد صحیح و همچنین خواص اعمال با اعداد حقیقی استفاده کنیم. به عنوان مثال، اجازه دهید ثابت کنیم که ویژگی توان هم برای اعداد صحیح مثبت و هم برای اعداد صحیح غیر مثبت صادق است. برای انجام این کار، باید نشان دهیم که اگر p صفر یا یک عدد طبیعی باشد و q صفر یا یک عدد طبیعی باشد، پس تساوی (a p) q =a p q , (a - p) q =a (-p) q , (a p ) −q =a p (−q) و (a −p) −q =a (−p) (−q) . بیایید آن را انجام دهیم.
برای p و q مثبت، برابری (a p) q =a p·q در بخش فرعی قبل ثابت شد. اگر p=0، آنگاه (a 0) q =1 q =1 و a 0 q =a 0 =1 داریم، از آنجا (a 0) q =a 0 q . به طور مشابه، اگر q=0، آنگاه (a p) 0 =1 و a p 0 =a 0 =1، از آنجایی که (a p) 0 =a p 0 است. اگر هر دو p=0 و q=0، آنگاه (a 0) 0 =1 0 =1 و 0 0 =a 0 =1، از این جا (a 0) 0 =a 0 0 .
اکنون ثابت کنیم که (a −p) q =a (−p) q . با تعریف یک درجه با توان عدد صحیح منفی، پس 
. با خاصیت ضریب در درجه داریم 
. از آنجایی که 1 p =1·1·…·1=1 و سپس . آخرین عبارت، طبق تعریف، توانی به شکل a -(p q) است که به موجب قواعد ضرب، می توان آن را به صورت (-p) q نوشت.
به همین ترتیب 
.
و 
.
با همان اصل، می توان تمام خصوصیات دیگر یک درجه را با یک توان عدد صحیح، که به شکل تساوی نوشته شده است، اثبات کرد.
در ماقبل آخری از ویژگی های نوشته شده، ارزش آن را دارد که بر اثبات نابرابری a −n >b −n بپردازیم، که برای هر عدد صحیح منفی −n و هر مثبت a و b که شرط a صادق است. . ما تفاوت بین قسمت چپ و راست این نابرابری را می نویسیم و تبدیل می کنیم: 
. از آنجایی که به شرط الف n n، بنابراین، b n - a n > 0. حاصل ضرب a n ·b n نیز به عنوان حاصل ضرب اعداد مثبت a n و b n مثبت است. سپس کسر حاصل به عنوان ضریبی از اعداد مثبت b n - a n و a n b n مثبت است. از این رو، از آنجا a −n >b −n، که قرار بود ثابت شود.
آخرین خاصیت درجات با توان های اعداد صحیح به همان ترتیبی ثابت می شود که خاصیت مشابه درجه ها با توان های طبیعی.
ما درجه را با یک توان کسری با گسترش ویژگی های یک درجه با یک توان صحیح به آن تعریف کردیم. به عبارت دیگر، درجه هایی با توان کسری همان ویژگی های درجه هایی با توان های اعداد صحیح را دارند. برای مثال:
برای a>0، و اگر و، سپس برای a≥0 ;
برای a> 0؛
برای a>0 و b>0، و اگر و، سپس برای a≥0 و (یا) b≥0 ;
برای a>0 و b>0، و اگر، آنگاه برای a≥0 و b>0؛
برای a>0، و اگر و، سپس برای a≥0 ;اثبات خواص درجات با توان کسری بر اساس تعریف درجه با توان کسری، بر روی خواص است. ریشه حسابیدرجه n و بر روی خواص یک درجه با توان عدد صحیح. بیایید مدرک بیاوریم.
با تعریف درجه با توان کسری و سپس 
. ویژگی های ریشه حسابی به ما اجازه می دهد تا تساوی های زیر را بنویسیم. بعلاوه، با استفاده از خاصیت درجه با توان عدد صحیح، به دست می آوریم، از این رو، با تعریف یک درجه با توان کسری، داریم 
، و توان درجه به دست آمده را می توان به صورت زیر تبدیل کرد: . این اثبات را کامل می کند.
خاصیت دوم توان ها با توان های کسری دقیقاً به همین ترتیب ثابت می شود: 
بقیه برابری ها با اصول مشابه اثبات می شوند: 
به اثبات ملک بعدی می پردازیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر a و b مثبت، a 0 نابرابری a p p معتبر است و برای p p > b p . عدد گویا p را m/n می نویسیم که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. شرایط p 0 در این مورد به ترتیب معادل شرایط m 0 خواهد بود. برای m>0 و am m. از این نابرابری، با خاصیت ریشه ها، داریم، و چون a و b اعداد مثبت هستند، پس بر اساس تعریف درجه با توان کسری، نابرابری حاصل را می توان به صورت , یعنی a p p بازنویسی کرد.
به طور مشابه، هنگامی که m m >b m، از کجا، یعنی، و a p >b p.
باقی مانده است که آخرین ویژگی های ذکر شده را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای اعداد گویا p و q، p>q برای 0p q، و برای a>0 نابرابری a p >a q. ما همیشه می‌توانیم اعداد گویا p و q را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم، اجازه دهید کسرهای معمولی و را بدست آوریم، که در آن m 1 و m 2 اعداد صحیح هستند و n یک عدد طبیعی است. در این حالت، شرط p>q با شرط m 1 > m 2 مطابقت دارد که از قاعده مقایسه به دست می آید. کسرهای معمولیبا مخرج های یکسان سپس با خاصیت مقایسه توان ها با پایه ها و توان های طبیعی یکسان، برای 0m 1 m 2 و برای a>1، نابرابری a m 1 >a m 2 . این نابرابری ها از نظر ویژگی های ریشه ها را می توان به ترتیب بازنویسی کرد 
و 
. و تعریف درجه با توان گویا به ما امکان می دهد به ترتیب به نابرابری ها و. از اینجا نتیجه نهایی را می گیریم: برای p>q و 0p q و برای a>0، نابرابری a p >a q.
از نحوه تعریف یک درجه با توان غیر منطقی می توان نتیجه گرفت که تمام ویژگی های درجات با توان های گویا را دارد. بنابراین برای هر a>0، b>0 و اعداد غیر منطقی p و q موارد زیر درست است خواص درجات با توان غیرمنطقی:
از این نتیجه می‌توان نتیجه گرفت که توان‌هایی با هر توان واقعی p و q برای a>0 دارای ویژگی‌های یکسانی هستند.
اگر می خواهید عدد خاصی را به یک پاور افزایش دهید، می توانید از . اکنون نگاهی دقیق تر خواهیم داشت ویژگی های قدرت ها.
اعداد نماییفرصت های بزرگی را باز می کنند، آنها به ما اجازه می دهند ضرب را به جمع تبدیل کنیم و جمع بسیار آسان تر از ضرب است.
برای مثال باید 16 را در 64 ضرب کنیم. حاصل ضرب این دو عدد 1024 است. اما 16 برابر 4x4 و 64 برابر 4x4x4 است. پس 16 ضربدر 64=4x4x4x4x4 که آن هم 1024 است.
عدد 16 را می توان به صورت 2x2x2x2 و عدد 64 را به صورت 2x2x2x2x2x2 نشان داد و اگر ضرب کنیم دوباره 1024 به دست می آید.
حالا بیایید از قانون استفاده کنیم. 16=4 2، یا 2 4، 64=4 3، یا 2 6، در حالی که 1024=6 4 =4 5، یا 2 10.
بنابراین، مشکل ما را می توان به شکل دیگری نوشت: 4 2 x4 3 =4 5 یا 2 4 x2 6 =2 10، و هر بار 1024 به دست می آید.
می توانیم تعدادی مثال مشابه را حل کنیم و ببینیم که ضرب اعداد با توان به کاهش می یابد افزودن نماها، یا یک توان البته به شرطی که مبانی عوامل برابر باشد.
بنابراین ، می توانیم بدون ضرب ، بلافاصله بگوییم که 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
این قانون در هنگام تقسیم اعداد با توان نیز صادق است، اما در این مورد، e توان تقسیم کننده از توان تقسیم سود کم می شود. بنابراین، 2 5:2 3 =2 2، که در اعداد معمولی برابر است با 32:8=4، یعنی 2 2. بیایید خلاصه کنیم:
a m x a n \u003d a m + n، a m: a n \u003d a m-n، که در آن m و n اعداد صحیح هستند.
در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد ضرب و تقسیم اعداد با توانخیلی راحت نیست، زیرا ابتدا باید عدد را به صورت نمایی نمایش دهید. نمایش اعداد 8 و 16 به این شکل یعنی 2 3 و 2 4 کار سختی نیست، اما چگونه می توان این کار را با اعداد 7 و 17 انجام داد؟ یا در مواردی که عدد را می توان به صورت نمایی نمایش داد، اما مبانی عبارات نمایی اعداد بسیار متفاوت است، چه باید کرد. به عنوان مثال، 8×9 برابر است با 2 3 x 3 2، در این صورت نمی توانیم توان ها را جمع کنیم. نه 2 5 و نه 3 5 جواب است و نه جواب بین این دو.
بعد اصلا ارزش این را دارد که با این روش زحمت بکشیم؟ قطعا ارزشش را دارد. مزایای بسیار زیادی را به خصوص برای محاسبات پیچیده و وقت گیر ارائه می دهد.
محتوای درسدرجهمحصول چندین عامل یکسان نامیده می شود. مثلا:
2×2×2
معنی بیان داده شدهبرابر 8
2 x 2 x 2 = 8
سمت چپ این معادله را می توان کوتاهتر کرد - ابتدا ضریب تکرار را یادداشت کنید و روی آن مشخص کنید که چند بار تکرار می شود. ضریب تکراری در این مورد 2 است. سه بار تکرار می شود. بنابراین، بر روی دوس، سه گانه را می نویسیم:
2 3 = 8
این عبارت به این صورت است: دو به توان سوم برابر با هشت است یا " توان سوم 2 برابر 8 است.
شکل کوتاه نوشتن ضرب عوامل مشابه بیشتر استفاده می شود. بنابراین، باید به یاد داشته باشیم که اگر عدد دیگری بر روی یک عدد درج شود، این ضرب چندین عامل یکسان است.
به عنوان مثال، اگر عبارت 5 3 داده شود، باید در نظر داشت که این عبارت معادل نوشتن 5 × 5 × 5 است.
عددی که تکرار می شود نامیده می شود پایه مدرک. در عبارت 5 3 پایه درجه عدد 5 است.
و عددی که بالای عدد 5 درج شده است نامیده می شود توان. در عبارت 5 3، توان عدد 3 است. توان نشان می دهد که پایه درجه چند بار تکرار شده است. در مورد ما، پایه 5 سه بار تکرار می شود.
عملیات ضرب عوامل یکسان نامیده می شود توانمندی.
به عنوان مثال، اگر باید حاصل ضرب چهار عامل یکسان را که هر کدام برابر با 2 است، پیدا کنید، آنها می گویند که عدد 2 به قدرت چهارم ارتقا یافت:
می بینیم که عدد 2 به توان چهارم عدد 16 است.
توجه داشته باشید که در این درس به بررسی آن می پردازیم درجه با نشانگر طبیعی. این یک نوع درجه است که توان آن یک عدد طبیعی است. به یاد داشته باشید که اعداد طبیعی اعداد صحیحی هستند که بزرگتر از صفر هستند. به عنوان مثال، 1، 2، 3 و غیره.
به طور کلی تعریف مدرک با شاخص طبیعی به شرح زیر است:
درجه از آبا یک شاخص طبیعی nبیان فرم است یک n، که برابر با محصول است nضریب هایی که هر کدام برابر است آ
مثال ها:
هنگام بالا بردن عدد به توان مراقب باشید. غالباً شخص از طریق بی توجهی، پایه درجه را در توان ضرب می کند.
به عنوان مثال عدد 5 به توان دوم حاصل ضرب دو عامل است که هر کدام برابر با 5 است. این حاصلضرب برابر با 25 است.
حال تصور کنید که به طور ناخواسته پایه 5 را در توان 2 ضرب کنیم
خطایی وجود داشت، زیرا عدد 5 به توان دوم برابر با 10 نیست.
ضمناً لازم به ذکر است که توان عددی با توان 1 خود عدد است:
مثلا عدد 5 به توان اول خود عدد 5 است.
بر این اساس، اگر عدد نشانگر نداشته باشد، باید آن را برابر با یک فرض کنیم.
به عنوان مثال اعداد 1، 2، 3 بدون توان آورده شده اند، بنابراین توان آنها برابر با یک خواهد بود. هر یک از این اعداد را می توان با توان 1 نوشت
و اگر 0 را به هر توانی برسانید، 0 دریافت خواهید کرد. مثال ها:
و عبارت 0 0 معنی ندارد. اما در برخی از شاخه های ریاضیات، به ویژه آنالیز و نظریه مجموعه ها، عبارت 0 0 می تواند معنا پیدا کند.
برای آموزش چند مثال از افزایش اعداد به توان را حل می کنیم.
مثال 1عدد 3 را به توان دوم ببرید.
عدد 3 به توان دوم حاصل ضرب دو عامل است که هر کدام برابر با 3 است
3 2 = 3 × 3 = 9
مثال 2عدد 2 را به توان چهارم ببرید.
عدد 2 تا توان چهارم حاصل ضرب چهار عامل است که هر کدام برابر با 2 است
2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
مثال 3عدد 2 را به توان سوم ببرید.
عدد 2 به توان سوم حاصل ضرب سه عامل است که هر کدام برابر با 2 است
2 3 = 2 × 2 × 2 = 8
برای رساندن عدد 10 به توان کافی است تعداد صفرهای بعد از واحد را برابر توان جمع کنید.
مثلا عدد 10 را به توان دوم برسانیم. ابتدا خود عدد 10 را می نویسیم و عدد 2 را به عنوان نشانگر نشان می دهیم
10 2
حالا یک علامت مساوی می گذاریم، یک را می نویسیم و بعد از این یکی دو صفر می نویسیم، زیرا تعداد صفرها باید برابر با توان باشد.
10 2 = 100
بنابراین عدد 10 به توان دوم عدد 100 است. این به این دلیل است که عدد 10 به توان دوم حاصل ضرب دو عامل است که هر کدام برابر با 10 است.
10 2 = 10 × 10 = 100
مثال 2. عدد 10 را به توان سوم برسانیم.
در این صورت، سه صفر بعد از یک وجود خواهد داشت:
10 3 = 1000
مثال 3. عدد 10 را به توان چهارم برسانیم.
در این حالت، چهار صفر بعد از یک وجود خواهد داشت:
10 4 = 10000
مثال 4. بیایید عدد 10 را به توان اول برسانیم.
در این حالت، یک صفر بعد از یک وجود خواهد داشت:
10 1 = 10
برای نمایش اعداد 10، 100، 1000 و 10000 به عنوان توان با پایه 10، باید پایه 10 را بنویسید و عددی برابر با تعداد صفرهای عدد اصلی را به عنوان توان مشخص کنید.
بیایید عدد 10 را به عنوان توان با پایه 10 نشان دهیم. می بینیم که یک صفر دارد. بنابراین عدد 10 به عنوان توان با پایه 10 به صورت 10 1 نشان داده می شود
10 = 10 1
مثال 2. بیایید عدد 100 را به عنوان توان با پایه 10 نشان دهیم. می بینیم که عدد 100 شامل دو صفر است. بنابراین عدد 100 به عنوان توان با پایه 10 به صورت 10 2 نمایش داده می شود
100 = 10 2
مثال 3. بیایید عدد 1000 را به عنوان توان با پایه 10 نشان دهیم.
1 000 = 10 3
مثال 4. بیایید عدد 10000 را به عنوان توان با پایه 10 نشان دهیم.
10 000 = 10 4
وقتی یک عدد منفی را به توان می آوریم، باید آن را داخل پرانتز قرار دهیم.
برای مثال، عدد منفی −2 را به توان دوم برسانیم. عدد -2 به توان دوم حاصل ضرب دو عامل است که هر کدام برابر با (-2) است.
(-2) 2 = (-2) × (-2) = 4
اگر عدد -2 را پرانتز نمی‌کردیم، معلوم می‌شد که عبارت -2 2 را محاسبه می‌کنیم که نا برابر 4 . عبارت -2² برابر با -4 خواهد بود. برای درک دلیل، اجازه دهید به نکاتی دست بزنیم.
وقتی جلوی یک عدد مثبت یک منهای قرار می دهیم، به این ترتیب عمل می کنیم عملیات گرفتن مقدار مخالف.
فرض کنید عدد 2 داده شده است و شما باید عدد مقابل آن را پیدا کنید. می دانیم که نقطه مقابل 2 -2 است. به عبارت دیگر برای یافتن عدد مقابل برای 2 کافی است جلوی این عدد یک منهای قرار دهید. درج یک منهای در مقابل یک عدد در حال حاضر یک عملیات تمام عیار در ریاضیات محسوب می شود. این عملیات همانطور که در بالا ذکر شد، عملیات گرفتن مقدار مخالف نامیده می شود.
در مورد عبارت -2 2، دو عمل رخ می دهد: عملیات گرفتن مقدار مخالف و قدرت. افزایش به توان عملیاتی با اولویت بالاتر از گرفتن مقدار مخالف است.
بنابراین، عبارت -2 2 در دو مرحله محاسبه می شود. ابتدا عملیات توان انجام می شود. در این حالت عدد مثبت 2 به توان دوم افزایش یافت.
سپس مقدار مخالف گرفته شد. این مقدار مخالف برای مقدار 4 پیدا شد. و مقدار مخالف برای 4 -4 است
−2 2 = −4
پرانتزها بالاترین اولویت اجرا را دارند. بنابراین در صورت محاسبه عبارت (-2) 2 ابتدا مقدار مخالف گرفته می شود و سپس عدد منفی -2 به توان دوم می رسد. نتیجه یک پاسخ مثبت 4 است، زیرا حاصل ضرب اعداد منفی یک عدد مثبت است.
مثال 2. عدد -2 را به توان سوم برسانید.
عدد -2 به توان سوم حاصل ضرب سه عامل است که هر کدام برابر با (2-) است.
(-2) 3 = (-2) × (-2) × (-2) = -8
مثال 3. عدد -2 را به توان چهارم برسانید.
عدد -2 به توان چهارم حاصل ضرب چهار عامل است که هر کدام برابر با (2-) است.
(-2) 4 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16
به راحتی می توان متوجه شد که با افزایش یک عدد منفی به توان، می توان پاسخ مثبت یا منفی را به دست آورد. علامت پاسخ به توان درجه اولیه بستگی دارد.
اگر نما زوج باشد، پاسخ مثبت است. اگر توان فرد باشد، پاسخ منفی است. بیایید این را در مثال عدد -3 نشان دهیم
در حالت اول و سوم شاخص بود فردشماره، پس جواب شد منفی.
در حالت دوم و چهارم، شاخص بود زوجشماره، پس جواب شد مثبت.
مثال 7عدد -5 را به توان سوم برسانید.
عدد ۵- به توان سوم حاصل ضرب سه عامل است که هر کدام برابر با ۵- است. توان 3 یک عدد فرد است، بنابراین می توانیم از قبل بگوییم که پاسخ منفی خواهد بود:
(-5) 3 = (-5) × (-5) × (-5) = 125-
مثال 8عدد -4 را به توان چهارم برسانید.
عدد ۴- به توان چهارم حاصل ضرب چهار عامل است که هر کدام برابر با ۴- است. در این حالت، اندیکاتور 4 زوج است، بنابراین می توانیم از قبل بگوییم که پاسخ مثبت خواهد بود:
(-4) 4 = (-4) × (-4) × (-4) × (4-) = 256
هنگام یافتن مقادیر عباراتی که حاوی براکت نیستند، ابتدا توان، سپس ضرب و تقسیم به ترتیب آنها و سپس جمع و تفریق به ترتیب آنها انجام می شود.
مثال 1. مقدار عبارت 2 + 5 2 را پیدا کنید
اول، توان انجام می شود. در این حالت، عدد 5 به توان دوم افزایش می یابد - معلوم می شود 25. سپس این نتیجه به عدد 2 اضافه می شود.
2 + 5 2 = 2 + 25 = 27
مثال 10. مقدار عبارت −6 2 × (−12) را بیابید
اول، توان انجام می شود. توجه داشته باشید که عدد -6 در پرانتز نیست، بنابراین عدد 6 به توان دوم افزایش می یابد، سپس یک منهای جلوی نتیجه قرار می گیرد:
-6 2 × (-12) = -36 × (-12)
مثال را با ضرب -36 در (-12) کامل می کنیم.
−6 × 2 × (-12) = −36 × (12-) = 432
مثال 11. مقدار عبارت −3 × 2 2 را بیابید
اول، توان انجام می شود. سپس حاصل با عدد -3 ضرب می شود
−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12
اگر عبارت حاوی براکت باشد، ابتدا باید عملیات را در این براکت ها انجام دهید، سپس توان، سپس ضرب و تقسیم و سپس جمع و تفریق.
مثال 12. مقدار عبارت (3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 را بیابید
بیایید ابتدا پرانتز را انجام دهیم. در داخل براکت ها قوانینی را که قبلا آموخته ایم اعمال می کنیم، یعنی ابتدا عدد 3 را به توان دوم برسانیم، سپس ضرب 1 × 3 را انجام دهیم، سپس نتایج افزایش عدد 3 را به توان اضافه کرده و 1 × 3 را ضرب کنیم. سپس تفریق و جمع به ترتیب ظاهر شدن آنها انجام می شود. بیایید ترتیب زیر را برای انجام عمل روی عبارت اصلی ترتیب دهیم:
(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2
مثال 13. مقدار عبارت 2 × 5 3 + 5 × 2 3 را بیابید
ابتدا اعداد را به توان می آوریم، سپس ضرب را انجام می دهیم و نتایج را جمع می کنیم:
2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290
دگرگونی های یکسان مختلفی را می توان روی قدرت ها انجام داد و در نتیجه آنها را ساده کرد.
فرض کنید برای محاسبه عبارت (2 3) 2 لازم بود. AT این مثالدو به توان سوم به توان دوم افزایش می یابد. به عبارت دیگر، یک درجه به درجه دیگری ارتقا می یابد.
(2 3) 2 حاصل ضرب دو توان است که هر کدام برابر با 2 3 است
ضمن اینکه هر یک از این قدرت ها حاصل ضرب سه عامل است که هر کدام برابر با 2 است
حاصل ضرب 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 است که برابر با 64 است. بنابراین مقدار عبارت (2 3) 2 یا برابر با 64 است.
این مثال را می توان تا حد زیادی ساده کرد. برای این کار می توان اندیکاتورهای عبارت (2 3) 2 را ضرب کرد و این حاصلضرب را روی پایه 2 نوشت.
2 6 گرفتم. دو به توان ششم حاصل ضرب شش عامل است که هر کدام برابر با 2 است. این حاصلضرب برابر با 64 است.
این ویژگی کار می کند زیرا 2 3 حاصل ضرب 2 × 2 × 2 است که به نوبه خود دو بار تکرار می شود. سپس معلوم می شود که پایه 2 شش بار تکرار شده است. از اینجا می توانیم بنویسیم که 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 6 است
در کل به هر دلیلی آبا شاخص ها مترو n، برابری زیر برقرار است:
(یک n)m = a n × m
این تبدیل یکسان نامیده می شود توانمندی. می توان آن را اینگونه خواند: "هنگام افزایش توان به توان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان ها ضرب می شوند." .
پس از ضرب اندیکاتورها، درجه دیگری به دست می آید که مقدار آن را می توان پیدا کرد.
مثال 2. مقدار عبارت (3 2) 2 را بیابید
در این مثال، پایه 3 است و اعداد 2 و 2 نما هستند. بیایید از قانون قدرت استفاده کنیم. پایه را بدون تغییر رها می کنیم و شاخص ها را ضرب می کنیم:
3 4 گرفتم. و عدد 3 به توان چهارم 81 است
بیایید به بقیه تحولات نگاه کنیم.
برای ضرب درجه، باید هر درجه را جداگانه محاسبه کنید و نتایج را ضرب کنید.
به عنوان مثال، بیایید 2 2 را در 3 3 ضرب کنیم.
2 2 عدد 4 و 3 3 عدد 27 است. اعداد 4 و 27 را ضرب می کنیم 108 به دست می آید
2 2 × 3 3 = 4 x 27 = 108
در این مثال، مبانی قدرت ها متفاوت بود. اگر پایه ها یکسان باشد، می توان یک پایه نوشت و به عنوان نشانگر، مجموع شاخص های درجات اولیه را بنویسید.
مثلا 2 2 را در 2 3 ضرب کنید
در این مثال، نماها دارای پایه یکسانی هستند. در این حالت می توانید یک پایه 2 بنویسید و مجموع توان های 2 2 و 2 3 را به عنوان نشانگر بنویسید. به عبارت دیگر، پایه را بدون تغییر رها کنید و نماهای درجات اصلی را اضافه کنید. شبیه این خواهد شد:
2 5 گرفتم. عدد 2 تا توان پنجم 32 است
این ویژگی کار می کند زیرا 2 2 حاصلضرب 2 × 2 و 2 3 حاصلضرب 2 × 2 × 2 است. سپس حاصل ضرب پنج عامل یکسان که هر کدام برابر با 2 است به دست می آید. این محصول را می توان به صورت 2 5 نشان داد
به طور کلی، برای هر آو شاخص ها مترو nبرابری زیر برقرار است:
این تبدیل یکسان نامیده می شود ویژگی اصلی مدرک. می توان آن را اینگونه خواند: پهنگام ضرب توان ها با یک پایه، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان ها اضافه می شوند. .
توجه داشته باشید که این تبدیل را می توان برای هر تعداد درجه اعمال کرد. نکته اصلی این است که پایه یکسان است.
برای مثال، بیایید مقدار عبارت 2 1 × 2 2 × 2 3 را پیدا کنیم. پایه 2
در برخی مسائل ممکن است انجام تبدیل مربوطه بدون محاسبه درجه نهایی کافی باشد. این البته بسیار راحت است، زیرا محاسبه توان های بزرگ چندان آسان نیست.
مثال 1. عبارت 5 8 × 25 را به عنوان توان بیان کنید
در این مسئله باید آن را طوری بسازید که به جای عبارت 5 8 × 25 یک درجه به دست آید.
عدد 25 را می توان به صورت 5 2 نشان داد. سپس عبارت زیر را دریافت می کنیم:
در این عبارت، می توانید ویژگی اصلی درجه را اعمال کنید - پایه 5 را بدون تغییر رها کنید و شاخص های 8 و 2 را اضافه کنید:
بیایید راه حل را به طور خلاصه بنویسیم:
مثال 2. عبارت 2 9 × 32 را به عنوان توان بیان کنید
عدد 32 را می توان به صورت 2 5 نشان داد. سپس عبارت 2 9 × 2 5 را دریافت می کنیم. در مرحله بعد، می توانید ویژگی پایه درجه را اعمال کنید - پایه 2 را بدون تغییر رها کنید و نشانگرهای 9 و 5 را اضافه کنید. این منجر به راه حل زیر می شود:
مثال 3. حاصلضرب 3 × 3 را با استفاده از ویژگی پاور پایه محاسبه کنید.
همه به خوبی می دانند که سه ضربدر سه برابر با نه است، اما کار مستلزم استفاده از خاصیت اصلی مدرک در دوره حل است. چگونه انجامش بدهیم؟
یادآوری می کنیم که اگر عددی بدون نشانگر داده شود، باید شاخص را برابر با یک در نظر گرفت. بنابراین عوامل 3 و 3 را می توان به صورت 3 1 و 3 1 نوشت
3 1 × 3 1
حال از ویژگی اصلی درجه استفاده می کنیم. پایه 3 را بدون تغییر می گذاریم و نشانگرهای 1 و 1 را اضافه می کنیم:
3 1 × 3 1 = 3 2 = 9
مثال 4. حاصلضرب 2 × 2 × 3 2 × 3 3 را با استفاده از ویژگی توان پایه محاسبه کنید.
محصول 2 × 2 را با 2 1 × 2 1 و سپس با 2 1 + 1 و سپس با 2 2 جایگزین می کنیم. حاصلضرب 3 2 × 3 3 با 3 2 + 3 و سپس با 3 5 جایگزین می شود.
مثال 5. ضرب را انجام دهید x × x
اینها دو فاکتور الفبایی یکسان با شاخص 1 هستند. برای وضوح، این شاخص ها را یادداشت می کنیم. پایه بیشتر ایکسآن را بدون تغییر رها کنید و شاخص ها را اضافه کنید:
با حضور در تخته سیاه، نباید ضرب توان ها را با پایه های یکسان با جزئیاتی که در اینجا انجام می شود یادداشت کرد. چنین محاسباتی باید در ذهن انجام شود. ورود دقیق به احتمال زیاد معلم را آزار می دهد و او نمره را برای این کار پایین می آورد. در اینجا، یک رکورد دقیق ارائه می شود تا مطالب تا حد امکان برای درک قابل دسترس باشد.
راه حل این مثال باید به صورت زیر نوشته شود:
مثال 6. ضرب را انجام دهید ایکس 2 × x
شاخص عامل دوم برابر با یک است. بیایید آن را برای وضوح بنویسیم. بعد، پایه را بدون تغییر رها می کنیم و نشانگرها را اضافه می کنیم:
مثال 7. ضرب را انجام دهید y 3 y 2 y
شاخص عامل سوم برابر با یک است. بیایید آن را برای وضوح بنویسیم. بعد، پایه را بدون تغییر رها می کنیم و نشانگرها را اضافه می کنیم:
مثال 8. ضرب را انجام دهید aa 3 a 2 a 5
شاخص عامل اول برابر با یک است. بیایید آن را برای وضوح بنویسیم. بعد، پایه را بدون تغییر رها می کنیم و نشانگرها را اضافه می کنیم:
مثال 9. توان 3 8 را به صورت حاصل ضرب توان هایی با پایه یکسان بیان کنید.
در این مسئله باید حاصل ضرب توان ها را بسازید که پایه های آن برابر با 3 و مجموع نماهای آن برابر با 8 خواهد بود. می توانید از هر شاخصی استفاده کنید. درجه 3 8 را به عنوان حاصل ضرب توان های 3 5 و 3 3 نشان می دهیم
در این مثال مجدداً به ویژگی اصلی مدرک تکیه کردیم. از این گذشته، عبارت 3 5 × 3 3 را می توان به صورت 3 5 + 3 نوشت که از آنجا 3 8 است.
البته می توان توان 3 8 را به عنوان محصول قدرت های دیگر نشان داد. به عنوان مثال، به شکل 3 7 × 3 1، زیرا این محصول نیز 3 8 است
نشان دادن مدرک به عنوان محصول قدرت با پایه یکسان، بیشتر کار خلاقانه است. بنابراین از آزمایش کردن نترسید.
مثال 10. ارائه مدرک ایکس 12 به عنوان محصولات مختلف قدرت با پایه ایکس .
بیایید از ویژگی اصلی مدرک استفاده کنیم. تصور کنید ایکس 12 به عنوان محصولات با پایه ایکسو مجموع نماهای آن برابر با 12 است
ساخت و سازها با مجموع شاخص ها برای وضوح ثبت شد. بیشتر اوقات می توان آنها را نادیده گرفت. سپس یک راه حل فشرده دریافت می کنیم:
برای بالا بردن یک محصول به توان، باید هر ضریب این محصول را به توان مشخص شده برسانید و نتایج را ضرب کنید.
به عنوان مثال، اجازه دهید محصول را 2 × 3 به توان دوم افزایش دهیم. این محصول را در پرانتز می گیریم و 2 را به عنوان نشانگر نشان می دهیم
حالا هر ضریب حاصلضرب 2×3 را به توان دوم می بریم و نتایج را ضرب می کنیم:
اصل عملکرد این قاعده بر اساس تعریف مدرک است که در همان ابتدا ارائه شد.
بالا بردن یک محصول 2×3 به توان دوم به معنای تکرار این محصول دو بار است. و اگر آن را دو بار تکرار کنید، می توانید موارد زیر را دریافت کنید:
2×3×2×3
از جایگشت مکان عوامل، محصول تغییر نمی کند. این به شما امکان می دهد ضریب های مشابه را گروه بندی کنید:
2×2×3×3
ضریب های تکراری را می توان با ورودی های کوتاه - پایه های دارای توان جایگزین کرد. محصول 2 × 2 را می توان با 2 2 جایگزین کرد و محصول 3 × 3 را می توان با 3 2 جایگزین کرد. سپس عبارت 2 × 2 × 3 × 3 به عبارت 2 2 × 3 2 تبدیل می شود.
بگذار باشد ابکار اصلی برای بالا بردن این محصول به قدرت n، باید عوامل را جداگانه مطرح کنید آو ببه درجه مشخص شده n
این ویژگی برای هر تعدادی از عوامل معتبر است. عبارات زیر نیز معتبر هستند:
مثال 2. مقدار عبارت (2 × 3 × 4) را بیابید 2
در این مثال، شما باید محصول را 2 × 3 × 4 به توان دوم ببرید. برای این کار باید هر ضریب این محصول را به توان دوم برسانید و نتایج را ضرب کنید:
مثال 3. محصول را تا توان سوم بالا ببرید a×b×c
ما این محصول را در پرانتز قرار می دهیم و عدد 3 را به عنوان نشانگر نشان می دهیم
مثال 4. محصول را تا توان سوم بالا ببرید 3 xyz
ما این محصول را در پرانتز قرار می دهیم و عدد 3 را به عنوان نشانگر نشان می دهیم
(3xyz) 3
بیایید هر فاکتور این محصول را به توان سوم برسانیم:
(3xyz) 3 = 3 3 ایکس 3 y 3 z 3
عدد 3 به توان سوم برابر با عدد 27 است. بقیه را بدون تغییر می گذاریم:
(3xyz) 3 = 3 3 ایکس 3 y 3 z 3 = 27ایکس 3 y 3 z 3
در برخی از مثال ها، ضرب توان ها با توان های یکسان را می توان با حاصل ضرب پایه هایی با توان یکسان جایگزین کرد.
برای مثال، بیایید مقدار عبارت 5 2 × 3 2 را محاسبه کنیم. هر عدد را به توان دوم ببرید و نتایج را ضرب کنید:
5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225
اما نمی توان هر مدرک را جداگانه محاسبه کرد. در عوض، این حاصل ضرب توان ها را می توان با یک محصول با یک توان (5 × 3) 2 جایگزین کرد. سپس مقدار درون پرانتز را محاسبه کرده و نتیجه را به توان دوم برسانید:
5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225
در این مورد مجدداً از قانون توانمندی محصول استفاده شد. پس از همه، اگر (a x b)n = a n × b n ، سپس a n × b n = (a × b) n. یعنی سمت چپ و راست معادله معکوس هستند.
ما این تبدیل را به عنوان نمونه ای در نظر گرفتیم زمانی که سعی کردیم ماهیت تبدیل های یکسان درجات را درک کنیم.
هنگام افزایش توان به توان، پایه بدون تغییر باقی می ماند و توان ها ضرب می شوند:
(یک n)m = a n × m
به عنوان مثال، عبارت (2 3) 2 افزایش توان به توان - دو به توان سوم به توان دوم افزایش می یابد. برای یافتن مقدار این عبارت، پایه را می توان بدون تغییر رها کرد و توان ها را می توان ضرب کرد:
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64
این قانون بر اساس قوانین قبلی است: توان محصول و ویژگی اصلی درجه.
به عبارت (2 3) 2 برگردیم. عبارت در براکت 2 3 حاصل ضرب سه عامل یکسان است که هر کدام برابر با 2 است. سپس در عبارت (2 3) 2 توان داخل براکت ها را می توان با حاصلضرب 2 × 2 × 2 جایگزین کرد.
(2×2×2) 2
و این قدرت محصولی است که قبلاً مطالعه کردیم. به یاد داشته باشید که برای بالا بردن یک محصول به توان، باید هر فاکتور این محصول را به توان مشخص شده افزایش دهید و نتایج را ضرب کنید:
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2
اکنون با ویژگی اصلی مدرک سروکار داریم. پایه را بدون تغییر رها می کنیم و نشانگرها را اضافه می کنیم:
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6
مثل قبل 2 6 گرفتیم. مقدار این مدرک 64 است
(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64
محصولی که فاکتورهای آن نیز قدرت هستند را می توان به توان رساند.
برای مثال، بیایید مقدار عبارت (2 2 × 3 2) 3 را پیدا کنیم. در اینجا، شاخص های هر ضریب باید در شاخص کل 3 ضرب شود. بعد، مقدار هر درجه را پیدا کنید و حاصل را محاسبه کنید:
(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656
تقریباً همین اتفاق در هنگام بالا بردن قدرت یک محصول می افتد. گفتیم که هنگام بالا بردن یک محصول به توان، هر فاکتور این محصول به توان مشخص شده بالا می رود.
به عنوان مثال، برای بالا بردن حاصل ضرب 2 × 4 به توان سوم، باید عبارت زیر را بنویسید:
اما قبلا گفته شده بود که اگر عددی بدون نشانگر داده شود باید آن را برابر با یک در نظر گرفت. معلوم می شود که ضرایب حاصلضرب 2 × 4 در ابتدا دارای توان هایی برابر با 1 هستند. این بدان معنی است که عبارت 2 1 × 4 1 به توان سوم افزایش یافته است. و این بالا بردن درجه به یک قدرت است.
بیایید راه حل را با استفاده از قانون توان بازنویسی کنیم. ما باید همین نتیجه را بگیریم:
مثال 2. مقدار عبارت (3 3) 2 را بیابید
پایه را بدون تغییر رها می کنیم و شاخص ها را ضرب می کنیم:
3 6 گرفتم. عدد 3 تا توان ششم عدد 729 است
مثال 3xy)³
مثال 4. انجام قدرت در عبارت ( abc)⁵
بیایید هر فاکتور محصول را به توان پنجم برسانیم:
مثال 5تبر) 3
بیایید هر فاکتور محصول را به توان سوم برسانیم:
از آنجایی که عدد منفی -2 به توان سوم رسید، در پرانتز گرفته شد.
مثال 6. انجام توان در بیان (10 xy) 2
مثال 7. قدرت را در عبارت (-5) انجام دهید ایکس) 3
مثال 8. قدرت را در عبارت (-3) انجام دهید y) 4
مثال 9. قدرت را در عبارت (-2) انجام دهید abx)⁴
مثال 10. بیان را ساده کنید ایکس 5×( ایکس 2) 3
درجه ایکس 5 در حال حاضر بدون تغییر باقی می ماند و در عبارت ( ایکس 2) 3 توان را به توان انجام دهید:
ایکس 5 × (ایکس 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6
حالا بیایید ضرب را انجام دهیم ایکس 5 × x 6. برای این کار از ویژگی اصلی درجه - پایه استفاده می کنیم ایکسآن را بدون تغییر رها کنید و شاخص ها را اضافه کنید:
ایکس 5 × (ایکس 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = ایکس 5 + 6 = ایکس 11
مثال 9. مقدار عبارت 4 3 × 2 2 را با استفاده از ویژگی پایه درجه پیدا کنید.
در صورتی می توان از خاصیت اصلی درجه استفاده کرد که پایه درجات اولیه یکسان باشد. در این مثال، پایه ها متفاوت هستند، بنابراین، برای شروع، عبارت اصلی باید کمی اصلاح شود، یعنی پایه های درجات یکسان شوند.
بیایید از نزدیک به توان 4 3 نگاه کنیم. پایه این درجه عدد 4 است که می توان آن را به صورت 2 2 نشان داد. سپس عبارت اصلی به شکل (2 2) 3 × 2 2 خواهد بود. با توان در عبارت (2 2) 3 به توان 2 6 می رسیم. سپس عبارت اصلی به شکل 2 6 × 2 2 خواهد بود که با استفاده از ویژگی اصلی درجه قابل محاسبه است.
بیایید حل این مثال را بنویسیم:
برای انجام تقسیم توان، باید مقدار هر توان را پیدا کنید، سپس تقسیم اعداد معمولی را انجام دهید.
به عنوان مثال، بیایید 4 3 را بر 2 2 تقسیم کنیم.
4 3 را محاسبه کنید، 64 به دست می آید. 2 2 را محاسبه می کنیم، 4 می گیریم. حالا 64 را بر 4 تقسیم می کنیم، 16 به دست می آید.
اگر هنگام تقسیم درجات پایه، آنها یکسان باشند، می توان پایه را بدون تغییر رها کرد و توان مقسوم علیه را می توان از توان تقسیم کننده کم کرد.
برای مثال، بیایید مقدار عبارت 2 3: 2 2 را پیدا کنیم
پایه 2 را بدون تغییر می گذاریم و توان مقسوم علیه را از توان تقسیم می کنیم:
بنابراین مقدار عبارت 2 3: 2 2 برابر با 2 است.
این خاصیت بر اساس ضرب توان ها با پایه های یکسان یا به قول خودمان بر خاصیت اصلی درجه است.
بیایید به مثال قبلی 2 3: 2 2 برگردیم. در اینجا سود سهام 2 3 و تقسیم کننده 2 2 است.
تقسیم یک عدد بر عدد دیگر به معنای یافتن عددی است که وقتی در یک مقسوم علیه ضرب شود، در نتیجه سود حاصل می شود.
در مورد ما، تقسیم 2 3 بر 2 2 به معنای یافتن توانی است که وقتی در مقسوم علیه 2 2 ضرب شود، به 2 3 می رسد. چه توانی را می توان در 2 2 ضرب کرد تا 2 3 بدست آید؟ بدیهی است که فقط درجه 2 1 . از ویژگی اصلی مدرک داریم:
با ارزیابی مستقیم عبارت 2 3: 2 2 می توانید تأیید کنید که مقدار عبارت 2 3: 2 2 2 1 است. برای انجام این کار، ابتدا مقدار درجه 2 3 را پیدا می کنیم، 8 می گیریم. سپس مقدار درجه 2 2 را پیدا می کنیم، 4 می گیریم. 8 را بر 4 تقسیم کنید، به 2 یا 2 1 می رسیم، زیرا 2 = 2 1 است.
2 3: 2 2 = 8: 4 = 2
بنابراین، هنگام تقسیم قدرت ها با پایه یکسان، برابری زیر برقرار است:
همچنین ممکن است اتفاق بیفتد که نه تنها پایه ها، بلکه شاخص ها نیز ممکن است یکسان باشند. در این صورت پاسخ یک خواهد بود.
برای مثال، بیایید مقدار عبارت 2 2: 2 2 را پیدا کنیم. بیایید مقدار هر درجه را محاسبه کنیم و اعداد حاصل را تقسیم کنیم:
هنگام حل مثال 2 2: 2 2، می توانید قانون تقسیم درجه را با پایه های یکسان نیز اعمال کنید. نتیجه یک عدد به توان صفر است، زیرا تفاوت بین توانای 2 2 و 2 2 صفر است:
چرا عدد 2 تا صفر درجه برابر با یک است، در بالا متوجه شدیم. اگر 2 2: 2 2 را به روش معمول بدون استفاده از قانون تقسیم درجه محاسبه کنید، یک به دست می آورید.
مثال 2. مقدار عبارت 4 12: 4 10 را بیابید
4 را بدون تغییر می گذاریم و توان مقسوم علیه را از توان تقسیم می کنیم:
4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16
مثال 3. خصوصی ارسال کنید ایکس 3: ایکسبه عنوان مدرک با پایه ایکس
از قانون تقسیم درجات استفاده کنیم. پایه ایکسآن را بدون تغییر رها کنید و توان مقسوم علیه را از توان تقسیم کننده کم کنید. ضریب مقسوم برابر با یک است. برای وضوح، بیایید آن را بنویسیم:
مثال 4. خصوصی ارسال کنید ایکس 3: ایکس 2 به عنوان یک قدرت با پایه ایکس
از قانون تقسیم درجات استفاده کنیم. پایه ایکس
تقسیم درجه ها را می توان به صورت کسری نوشت. بنابراین، مثال قبلی را می توان به صورت زیر نوشت:
صورت و مخرج کسری را می توان به شکل بسط یافته، یعنی به صورت حاصلضرب عوامل یکسان نوشت. درجه ایکس 3 را می توان به صورت نوشتاری x × x × x، و مدرک ایکس 2 به عنوان x × x. سپس ساخت و ساز ایکس 3-2 را می توان نادیده گرفت و از کاهش کسر استفاده کرد. در صورت و در مخرج امکان کاهش دو عامل وجود خواهد داشت ایکس. نتیجه یک ضریب خواهد بود ایکس
یا حتی کوتاه تر:
همچنین، مفید است که بتوان به سرعت کسرهای متشکل از توان ها را کاهش داد. به عنوان مثال، یک کسری را می توان به کاهش داد ایکس 2. برای کاهش کسری توسط ایکس 2 باید صورت و مخرج کسر را بر تقسیم کنید ایکس 2
تقسیم درجه ها را نمی توان با جزئیات توصیف کرد. مخفف فوق را می توان کوتاهتر کرد:
یا حتی کوتاه تر:
مثال 5. تقسیم را اجرا کنید ایکس 12 : ایکس 3
از قانون تقسیم درجات استفاده کنیم. پایه ایکسآن را بدون تغییر رها کنید و توان مقسوم علیه را از توان تقسیم کننده کم کنید:
حل را با استفاده از کاهش کسر می نویسیم. تقسیم قوا ایکس 12 : ایکس 3 به صورت نوشته خواهد شد. در مرحله بعد، این کسر را کاهش می دهیم ایکس 3 .
مثال 6. مقدار یک عبارت را پیدا کنید
در صورت حساب، ضرب توان ها را با پایه های یکسان انجام می دهیم:
حالا قاعده تقسیم قوا را با همان مبنا اعمال می کنیم. پایه 7 را بدون تغییر می گذاریم و توان مقسوم علیه را از توان تقسیم می کنیم:
مثال را با محاسبه توان 7 2 کامل می کنیم
مثال 7. مقدار یک عبارت را پیدا کنید
بیایید قدرت را در صورتگر انجام دهیم. باید این کار را با عبارت (2 3) 4 انجام دهید
حالا بیایید ضرب توان ها را با پایه های یکسان در صورتگر انجام دهیم.
بیایید مبحث تبدیل عبارات با قدرت ها را در نظر بگیریم، اما ابتدا به تعدادی تبدیل می پردازیم که می توان با هر عبارتی از جمله قدرت ها انجام داد. ما یاد خواهیم گرفت که چگونه پرانتزها را باز کنیم، اصطلاحات مشابه بدهیم، با مبنا و توان کار کنیم، از خصوصیات درجه استفاده کنیم.
AT دوره مدرسهتعداد کمی از افراد از عبارت "عبارات قدرت" استفاده می کنند، اما این اصطلاح به طور مداوم در مجموعه هایی برای آمادگی برای امتحان یافت می شود. در بیشتر موارد، این عبارت عباراتی را نشان می‌دهد که دارای درجه‌هایی در مدخل‌های خود هستند. این همان چیزی است که ما در تعریف خود منعکس خواهیم کرد.
تعریف 1
بیان قدرتعبارتی است که شامل درجات است.
ما چندین مثال از عبارات توان ارائه می دهیم که با درجه ای با توان طبیعی شروع می شود و با درجه ای با توان واقعی پایان می یابد.
ساده ترین عبارات توان را می توان توان های یک عدد با توان طبیعی در نظر گرفت: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . و همچنین توان های با توان صفر: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . و توان های با توان های عدد صحیح منفی: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .
کار با مدرکی که دارای توانای منطقی و غیرمنطقی است کمی دشوارتر است: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
نشانگر می تواند یک متغیر 3 x - 54 - 7 3 x - 58 یا یک لگاریتم باشد. x 2 l g x − 5 x l g x.
ما به این سوال پرداخته ایم که عبارات قدرت چیست؟ حال بیایید نگاهی به تغییر شکل آنها بیندازیم.
اول از همه، ما تبدیل هویت اصلی عبارات را که می توان با عبارات قدرت انجام داد، در نظر خواهیم گرفت.
مثال 1
مقدار بیان قدرت را محاسبه کنید 2 3 (4 2 - 12).
تصمیم گیری
ما تمام تحولات را با رعایت ترتیب اقدامات انجام خواهیم داد. در این مورد، ما با انجام اقدامات داخل پرانتز شروع می کنیم: درجه را با یک مقدار دیجیتال جایگزین می کنیم و تفاوت بین دو عدد را محاسبه می کنیم. ما داریم 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.
باقی می ماند که مدرک را جایگزین کنیم 2 3 معنای آن 8 و محصول را محاسبه کنید 8 4 = 32. پاسخ ما اینجاست.
پاسخ: 2 3 (4 2 − 12) = 32.
مثال 2
بیان را با قدرت ها ساده کنید 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
تصمیم گیری
عبارتی که در شرط مسئله به ما داده می شود شامل اصطلاحات مشابهی است که می توانیم آنها را بیاوریم: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
پاسخ: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .
مثال 3
یک عبارت را با توان های 9 - b 3 · π - 1 2 به عنوان یک محصول بیان کنید.
تصمیم گیری
بیایید عدد 9 را به عنوان یک توان نشان دهیم 3 2 و از فرمول ضرب اختصاری استفاده کنید:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
پاسخ: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .
و اکنون بیایید به تحلیل تبدیل‌های یکسانی که می‌توانند به طور خاص برای عبارات قدرت اعمال شوند، برویم.
درجه در مبنا یا توان می تواند دارای اعداد، متغیرها و برخی عبارات باشد. مثلا، (2 + 0، 3 7) 5 − 3، 7و . کار با چنین رکوردهایی سخت است. جایگزین کردن عبارت در پایه درجه یا عبارت در توان با یک عبارت یکسان بسیار ساده تر است.
دگرگونی های درجه و شاخص طبق قوانینی که برای ما به طور جداگانه از یکدیگر شناخته شده است انجام می شود. مهمترین چیز این است که در نتیجه تبدیل ها، عبارتی مشابه با عبارت اصلی به دست می آید.
هدف از تبدیل ها ساده کردن عبارت اصلی یا به دست آوردن راه حلی برای مسئله است. به عنوان مثال، در مثالی که در بالا آوردیم، (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 می توانید عملیاتی را برای رفتن به درجه انجام دهید. 4 , 1 1 , 3 . با باز کردن پرانتزها، می‌توانیم عبارت‌های مشابهی را در پایه مدرک بیاوریم (a (a + 1) - a 2) 2 (x + 1)و یک عبارت قدرت را دریافت کنید فرم ساده a 2 (x + 1).
خصوصیات درجه ها که به صورت تساوی نوشته می شوند، یکی از ابزارهای اصلی برای تبدیل عبارات با درجه هستند. ما در اینجا با توجه به آن موارد اصلی را ارائه می دهیم آو بهر عدد مثبتی هستند و rو س- اعداد واقعی دلخواه:
تعریف 2
در مواردی که با نماهای طبیعی، اعداد صحیح و مثبت سروکار داریم، محدودیت‌های اعداد a و b می‌تواند بسیار سخت‌گیرانه‌تر باشد. بنابراین، به عنوان مثال، اگر ما برابری را در نظر بگیریم a m a n = a m + n، جایی که مترو nاعداد طبیعی هستند، پس برای هر مقدار a، اعم از مثبت و منفی، و همچنین برای صادق خواهد بود a = 0.
در مواردی که پایه درجه ها مثبت هستند یا حاوی متغیرهایی هستند که محدوده مقادیر قابل قبول آنها به گونه ای است که پایه ها فقط مقادیر مثبت را روی آن می گیرند، می توانید ویژگی های درجه ها را بدون محدودیت اعمال کنید. در واقع در چارچوب برنامه درسی مدرسه در ریاضیات، وظیفه دانش آموز این است که ویژگی مناسب را انتخاب و به درستی به کار گیرد.
هنگام آماده شدن برای پذیرش در دانشگاه ها، ممکن است وظایفی وجود داشته باشد که در آنها استفاده نادرست از ویژگی ها منجر به باریک شدن ODZ و سایر مشکلات در راه حل شود. در این بخش تنها به دو مورد از این دست می پردازیم. اطلاعات بیشتر در مورد موضوع را می توان در مبحث "تبدیل عبارات با استفاده از ویژگی های توان" یافت.
مثال 4
بیان را نشان دهید a 2، 5 (a 2) - 3: a - 5، 5به عنوان مدرک با پایه آ.
تصمیم گیری
برای شروع، از ویژگی توان استفاده می کنیم و عامل دوم را با استفاده از آن تبدیل می کنیم (a 2) - 3. سپس از خواص ضرب و تقسیم توان ها با پایه یکسان استفاده می کنیم:
a 2, 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .
پاسخ: a 2, 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .
تبدیل عبارات قدرت با توجه به خاصیت درجه می تواند هم از چپ به راست و هم در جهت مخالف انجام شود.
مثال 5
مقدار عبارت توان 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 را بیابید.
تصمیم گیری
اگر تساوی را اعمال کنیم (الف ب) r = a r b r، از راست به چپ، سپس حاصل ضربی به شکل 3 7 1 3 21 2 3 و سپس 21 1 3 21 2 3 به دست می آوریم. بیایید هنگام ضرب توان ها با پایه های یکسان، توان ها را اضافه کنیم: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.
راه دیگری برای ایجاد تحول وجود دارد:
3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
پاسخ: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
مثال 6
با توجه به بیان قدرت a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6، یک متغیر جدید وارد کنید t = a 0، 5.
تصمیم گیری
مدرک تحصیلی را تصور کنید a 1، 5مانند a 0, 5 3. استفاده از ویژگی درجه در یک درجه (a r) s = a r sاز راست به چپ و (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . در عبارت به دست آمده، می توانید به راحتی یک متغیر جدید معرفی کنید t = a 0، 5: گرفتن t 3 - t - 6.
پاسخ: t 3 − t − 6 .
ما معمولاً با دو نوع عبارات توانی با کسر سروکار داریم: عبارت کسری با درجه است یا حاوی چنین کسری است. تمام تبدیل‌های کسری پایه برای چنین عباراتی بدون محدودیت قابل اعمال هستند. آنها را می توان کاهش داد، به یک مخرج جدید آورد، به طور جداگانه با صورت و مخرج کار کرد. بیایید این را با مثال هایی توضیح دهیم.
مثال 7
عبارت قدرت 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 را ساده کنید.
تصمیم گیری
ما با کسری سر و کار داریم، بنابراین تبدیل ها را هم در صورت و هم در مخرج انجام می دهیم:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
یک منهای جلوی کسر قرار دهید تا علامت مخرج را تغییر دهید: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
پاسخ: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
کسرهایی که دارای توان هستند همانند کسرهای گویا به مخرج جدیدی تقلیل می‌یابند. برای این کار باید یک عامل اضافی پیدا کنید و صورت و مخرج کسر را در آن ضرب کنید. لازم است یک عامل اضافی را به گونه ای انتخاب کنید که برای هیچ یک از مقادیر متغیرها از متغیرهای ODZ برای عبارت اصلی ناپدید نشود.
مثال 8
کسرها را به مخرج جدید بیاورید: الف) a + 1 a 0، 7 به مخرج آ، ب) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 به مخرج x + 8 y 1 2 .
تصمیم گیری
الف) عاملی را انتخاب می کنیم که به ما امکان می دهد به مخرج جدیدی تقلیل دهیم. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a ,بنابراین، به عنوان یک عامل اضافی، ما را a 0، 3. محدوده مقادیر قابل قبول متغیر a شامل مجموعه تمام اعداد حقیقی مثبت است. در این زمینه مدرک a 0، 3به صفر نمی رسد
بیایید صورت و مخرج کسری را در ضرب کنیم a 0، 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
ب) به مخرج توجه کنید:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
این عبارت را در x 1 3 + 2 · y 1 6 ضرب می کنیم، مجموع مکعب های x 1 3 و 2 · y 1 6 را بدست می آوریم، یعنی. x + 8 · y 1 2 . این مخرج جدید ما است که باید کسر اصلی را به آن بیاوریم.
بنابراین یک عامل اضافی x 1 3 + 2 · y 1 6 پیدا کردیم. در محدوده مقادیر قابل قبول متغیرها ایکسو yعبارت x 1 3 + 2 y 1 6 ناپدید نمی شود، بنابراین می توانیم صورت و مخرج کسری را در آن ضرب کنیم:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
پاسخ:الف) a + 1 a 0، 7 = a + 1 a 0، 3 a، b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .
مثال 9
کسر را کاهش دهید: a) 30 x 0 (x 0، 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0، 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3، ب) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
تصمیم گیری
الف) از بزرگترین مخرج مشترک (GCD) استفاده کنید که با آن می توان صورت و مخرج را کاهش داد. برای اعداد 30 و 45 این عدد 15 است. همچنین می توانیم کاهش دهیم x 0، 5 + 1و روی x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .
ما گرفتیم:
30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)
ب) در اینجا وجود عوامل یکسان آشکار نیست. برای به دست آوردن فاکتورهای یکسان در صورت و مخرج، باید چند تبدیل انجام دهید. برای انجام این کار، مخرج را با استفاده از فرمول تفاضل مربعات گسترش می دهیم:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
پاسخ:الف) 30 x 3 (x 0، 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0، 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 ، 5 + 1) ، ب) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
عملیات اصلی با کسرها شامل کاهش به مخرج جدید و کاهش کسر است. هر دو عمل با رعایت تعدادی از قوانین انجام می شود. هنگام جمع و تفریق کسرها، ابتدا کسرها به یک مخرج مشترک تقلیل می یابد و پس از آن اعمال (جمع یا تفریق) با اعداد انجام می شود. مخرج ثابت می ماند. حاصل اعمال ما کسری جدید است که صورت آن حاصل ضرب مصدرها و مخرج حاصلضرب مخرج هاست.
مثال 10
مراحل x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 را انجام دهید.
تصمیم گیری
بیایید با کم کردن کسری که در پرانتز هستند شروع کنیم. بیایید آنها را به یک مخرج مشترک بیاوریم:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
بیایید اعداد را کم کنیم:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
حالا کسرها را ضرب می کنیم:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
یک درجه کم کنیم x 1 2، ما 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 می گیریم.
علاوه بر این، می توانید بیان توان را در مخرج با استفاده از فرمول تفاوت مربع ها ساده کنید: مربع: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.
پاسخ: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
مثال 11
عبارت قدرت x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 را ساده کنید.
تصمیم گیری
ما می توانیم کسر را کاهش دهیم (x 2 , 7 + 1) 2. ما یک کسری x 3 4 x - 5 8 x 2، 7 + 1 می گیریم.
اجازه دهید تبدیل های x توان x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2، 7 + 1 را ادامه دهیم. اکنون می توانید از ویژگی تقسیم توان با پایه های مشابه استفاده کنید: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .
ما از آخرین محصول به کسر x 1 3 8 x 2، 7 + 1 عبور می کنیم.
پاسخ: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .
در بیشتر موارد، انتقال ضرب‌کننده‌های دارای توان منفی از صورت به مخرج و بالعکس با تغییر علامت توان راحت‌تر است. این اقدام تصمیم گیری بیشتر را ساده می کند. بیایید مثالی بزنیم: عبارت توان (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 را می توان با x 3 · (x + 1) 0 , 2 جایگزین کرد.
در وظایف، عبارات قدرتی وجود دارد که نه تنها دارای درجه با توان های کسری، بلکه شامل ریشه نیز هستند. مطلوب است که چنین عباراتی را فقط به ریشه یا فقط به قدرت تقلیل دهیم. انتقال به درجه ترجیح داده می شود، زیرا کار با آنها آسان تر است. چنین انتقالی به ویژه زمانی سودمند است که DPV متغیرها برای عبارت اصلی به شما امکان می‌دهد بدون نیاز به دسترسی به مدول یا تقسیم DPV به چندین بازه، ریشه‌ها را با قدرت‌ها جایگزین کنید.
مثال 12
عبارت x 1 9 x 3 6 را به صورت توان بیان کنید.
تصمیم گیری
محدوده معتبر یک متغیر ایکستوسط دو نابرابری تعیین می شود x ≥ 0و x · x 3 ≥ 0 که مجموعه را تعریف می کند [ 0 , + ∞) .
در این مجموعه، ما این حق را داریم که از ریشه به سمت قدرت حرکت کنیم:
x 1 9 x 3 6 = x 1 9 x 1 3 1 6
با استفاده از ویژگی های درجه، بیان قدرت حاصل را ساده می کنیم.
x 1 9 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
پاسخ: x 1 9 x 3 6 = x 1 3 .
اگر به درستی از ویژگی های درجه استفاده کنید، انجام این تبدیل ها بسیار ساده است. مثلا، 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.
می توانیم حاصل ضرب درجه ای را جایگزین کنیم که بر حسب آن مجموع چند متغیر و یک عدد پیدا می شود. در سمت چپ، این را می توان با اولین و آخرین عبارت در سمت چپ عبارت انجام داد:
5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .
حالا بیایید هر دو طرف معادله را بر تقسیم کنیم 7 2 x. این عبارت در ODZ متغیر x فقط مقادیر مثبت می گیرد:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
بیایید کسرها را با توان کاهش دهیم، به دست می آوریم: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .
در نهایت، نسبت توان های با توان های یکسان با توان های نسبت ها جایگزین می شود که به معادله 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 منجر می شود که معادل 5 5 7 x 2 - 3 5 7 است. x - 2 = 0 .
ما یک متغیر جدید t = 5 7 x را معرفی می کنیم که حل معادله نمایی اصلی را به حل معادله درجه دوم 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 کاهش می دهد.
عبارات حاوی توان و لگاریتم نیز در مسائل یافت می شود. نمونه هایی از این عبارات عبارتند از: 1 4 1 - 5 log 2 3 یا log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . تبدیل چنین عباراتی با استفاده از رویکردها و ویژگی های لگاریتم های فوق انجام می شود که در مبحث "تغییر عبارات لگاریتمی" به تفصیل آنها را تحلیل کرده ایم.
اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید
