این درس تعریف و ویژگی های یک هرم مثلثی منظم و مورد خاص آن - چهار وجهی را ارائه می دهد (به زیر مراجعه کنید). لینک نمونه هایی از حل مسئله در انتهای درس ارائه شده است.
هرم مثلثی منظم- این هرمی است که قاعده آن مثلثی منتظم است و قسمت بالایی آن به سمت مرکز قاعده بیرون زده است.
شکل نشان می دهد:
ABC- پایهاهرام
سیستم عامل - ارتفاع
KS - Apothem
OK - شعاع دایره حک شده در پایه
AO - شعاع دایره ای است که اطراف قاعده یک هرم مثلثی منظم را احاطه کرده است
SKO - زاویه دو وجهی بین پایه و وجه هرم (در یک هرم منظم برابر هستند)
مهم. در یک هرم مثلثی منظم، طول لبه (در شکل AS، BS، CS) ممکن است با طول ضلع پایه (در شکل AB، AC، BC) برابر نباشد. اگر طول لبه هرم مثلثی منتظم برابر با طول ضلع قاعده باشد، چنین هرمی را چهار وجهی می نامند (به زیر مراجعه کنید).
فرمول حجم هرم مثلثی منظم به صورت زیر است:
V حجم یک هرم منتظم با یک مثلث منتظم (متساوی الاضلاع) در قاعده است
h - ارتفاع هرم
الف - طول ضلع قاعده هرم
R - شعاع دایره محدود شده
r - شعاع دایره محاطی
از آنجایی که یک هرم مثلثی منتظم یک مورد خاص از یک هرم منظم است، فرمول هایی که برای یک هرم منتظم صادق است برای یک هرم مثلثی منظم نیز صادق است - فرمول های یک هرم منظم را ببینید.
نمونه هایی از حل مسئله:
یک مورد خاص از هرم مثلثی منظم است چهار وجهی.
چهار وجهی- این یک چندوجهی منظم (هرم مثلثی منظم) است که در آن همه وجوه مثلث های منظم هستند.
در چهار وجهی:
میانه یک چهار وجهی- این قطعه ای است که راس را به نقطه تقاطع وسط های طرف مقابل (وسط یک مثلث متساوی الاضلاع در مقابل راس) متصل می کند.
چهار وجهی دو میانی- این قطعه ای است که نقاط میانی لبه های متقاطع را به هم متصل می کند (وسط اضلاع یک مثلث را که یکی از وجوه یک چهار وجهی است به هم متصل می کند)
ارتفاع چهار وجهی- این قطعه ای است که راس را با نقطه ای از وجه مخالف و عمود بر این وجه به هم وصل می کند (یعنی ارتفاعی است که از هر وجهی کشیده می شود، همچنین با مرکز دایره محدود منطبق است).
چهار وجهیموارد زیر را دارد خواص:
در اینجا اطلاعات اولیه در مورد اهرام و فرمول ها و مفاهیم مربوطه جمع آوری شده است. همه آنها با یک معلم خصوصی ریاضی برای آمادگی برای امتحان مطالعه می شوند.
یک صفحه، یک چندضلعی را در نظر بگیرید 
خوابیده در آن و یک نقطه S که در آن قرار ندارد. S را به تمام رئوس چند ضلعی وصل کنید. چندوجهی به دست آمده هرم نامیده می شود. قطعات را لبه های جانبی می نامند. 
چند ضلعی را قاعده و نقطه S را بالای هرم می نامند. بسته به عدد n، هرم را مثلثی (n=3)، چهار گوش (n=4)، پنج ضلعی (n=5) و غیره می نامند. نام جایگزین برای هرم مثلثی - چهار وجهی. ارتفاع هرم عمودی است که از راس آن به صفحه پایه کشیده شده است. 
هرم اگر صحیح نامیده می شود یک چندضلعی منتظم و قاعده ارتفاع هرم (پایه عمود) مرکز آن است.
نظر استاد راهنما:
مفهوم "هرم منظم" و "چهار وجهی منظم" را با هم اشتباه نگیرید. در هرم منظم، لبه های کناری لزوماً با لبه های قاعده برابر نیستند، اما در چهار وجهی منظم، تمام 6 یال لبه ها برابر هستند. این تعریف اوست. به راحتی می توان ثابت کرد که تساوی دلالت بر مرکز P چند ضلعی دارد با قاعده ارتفاع، بنابراین یک چهار وجهی منظم یک هرم منظم است.
آپوتم چیست؟
علامت هرم، ارتفاع وجه جانبی آن است. اگر هرم منتظم باشد، پس تمام اثار آن با هم برابرند. عکس این قضیه درست نیست. 
معلم ریاضی در مورد اصطلاحات خود: کار با اهرام 80٪ از طریق دو نوع مثلث ساخته می شود:
1) حاوی آپوتم SK و ارتفاع SP
2) حاوی لبه جانبی SA و PA برآمدگی آن 
برای ساده کردن ارجاعات به این مثلث ها، نام بردن اولین آنها برای معلم ریاضی راحت تر است. بی روح، و دوم ساحلی. متأسفانه در هیچ یک از کتاب های درسی این اصطلاح را پیدا نمی کنید و معلم باید آن را یک طرفه معرفی کند.
فرمول حجم هرم:
1) 
، مساحت قاعده هرم کجاست و ارتفاع هرم است
2) که در آن شعاع کره محاطی است و مساحت کل هرم است.
3) 
، که در آن MN فاصله هر دو یال متقاطع است و مساحت متوازی الاضلاع است که توسط نقاط میانی چهار یال باقی مانده تشکیل شده است.
نقطه P (نگاه کنید به شکل) با مرکز دایره محاطی شده در قاعده هرم منطبق است اگر یکی از شرایط زیر وجود داشته باشد:
1) همه ابهام ها برابرند
2) تمام وجوه جانبی به یک اندازه به سمت پایه متمایل می شوند
3) همه آپوتم ها به یک اندازه به ارتفاع هرم تمایل دارند
4) ارتفاع هرم به همه وجوه جانبی به یک اندازه متمایل است
تفسیر معلم خصوصی ریاضی: توجه داشته باشید که همه نقاط با یک ویژگی مشترک متحد می شوند: به هر شکلی، چهره های جانبی در همه جا شرکت می کنند (آپوتم ها عناصر آنها هستند). بنابراین، معلم می‌تواند فرمول کمتر دقیق‌تر، اما راحت‌تری برای به خاطر سپردن ارائه دهد: نقطه P منطبق بر مرکز دایره محاط شده، پایه هرم است، اگر اطلاعات مساوی در مورد وجوه جانبی آن وجود داشته باشد. برای اثبات آن کافی است نشان دهیم که همه مثلث های غیرمعمول برابر هستند.
نقطه P با مرکز دایره محصور در نزدیکی قاعده هرم منطبق است، اگر یکی از سه شرط درست باشد:
1) تمام لبه های جانبی برابر هستند
2) همه دنده های جانبی به یک اندازه به سمت پایه متمایل می شوند
3) همه دنده های جانبی به یک اندازه به ارتفاع متمایل می شوند
فصل 1. بررسی نظری انواع مقاطع و روشهای ساخت آنها در هرم چهار گوش منتظم
هرم (یونان باستان Πυραμίς، جنس P. πυραμίδος) چند وجهی است که قاعده آن چند ضلعی است و وجه های باقیمانده مثلث هایی با راس مشترک هستند. از نظر تعداد گوشه های پایه، اهرام مثلثی، چهار گوش و غیره هستند. هرم حالت خاصی از مخروط است.
آغاز هندسه هرم گذاشته شد مصر باستانو بابل، اما به طور فعال در یونان باستان. اولین کسی که تعیین کرد حجم هرم با چه اندازه است دموکریتوس بود و ادوکسوس کنیدوس آن را ثابت کرد. ریاضیدان یونانی باستان اقلیدس دانش در مورد هرم را در جلد دوازدهم "آغاز" خود سیستماتیک کرد و همچنین اولین تعریف از هرم را ارائه کرد: یک شکل جامد محدود به صفحاتی که از یک صفحه در یک نقطه همگرا هستند.
عناصر هرمی
آپوتم - ارتفاع وجه جانبی یک هرم منظم که از بالای آن کشیده شده است.
وجه های جانبی - مثلث هایی که در بالای هرم همگرا می شوند.
لبه های جانبی - طرف های مشترک صورت های جانبی؛
بالای هرم نقطه ای است که لبه های جانبی را به هم متصل می کند و در صفحه پایه قرار ندارد.
ارتفاع - قسمتی از یک عمود که از بالای هرم به صفحه قاعده آن کشیده شده است (انتهای این بخش بالای هرم و قاعده عمود است).
بخش مورب هرم - قسمتی از هرم که از بالا و مورب پایه عبور می کند.
پایه - چند ضلعی که به بالای هرم تعلق ندارد.
خواص هرم:
تعداد وجوه هرم برابر با تعداد رئوس آن است.
هر چند وجهی با تعداد وجهی برابر با تعداد رئوس یک هرم است. تعداد کل رئوس هرم n+1 است که n تعداد رئوس قاعده است.
اگر تمام لبه های کناری با هم برابر باشند، سپس:
§ در نزدیکی قاعده هرم، یک دایره را می توان توصیف کرد، و بالای هرم به مرکز آن کشیده می شود.
§ دنده های جانبی زوایای مساوی با صفحه پایه تشکیل می دهند.
§ برعکس نیز صادق است، یعنی اگر لبه های جانبی زوایای مساوی با صفحه پایه تشکیل دهند، یا اگر بتوان دایره ای را در نزدیکی قاعده هرم توصیف کرد و بالای هرم به مرکز آن برآمده است، آنگاه همه لبه های کناری هرم برابر است.
اگر وجوه جانبی در یک زاویه به صفحه پایه متمایل شوند، سپس:
§ یک دایره را می توان در قاعده هرم حک کرد، و بالای هرم به مرکز آن برجسته می شود.
§ ارتفاع وجه های جانبی برابر است.
§ مساحت سطح جانبی برابر با نصف حاصلضرب محیط قاعده و ارتفاع وجه جانبی است.
انواع مقاطع در هرم چهار گوش منتظم:
بخش مورب هرم
